Реферат: Начала систематического курса стереометрии в средней школе
4. Аксиома С1 : “Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей”. Её анализ можно направить вопросами: О каких геометрических фигурах говорится в этой аксиоме? - О плоскости и точках. Что именно говорится о плоскости и точках? - На каждой плоскости имеются точки, принадлежащие ей; для каждой плоскости можно указать точки, которые ей не принадлежат. Сколько утверждений сформулировано в аксиоме С1 ? Сформулируйте их по отдельности. - Сформулированы два утверждения: 1) какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие ей; 2) какова бы ни была плоскость, существуют точки, не принадлежащие ей. Какими другими словами можно заменить слова “какова бы ни была плоскость”?
5. На рисунке изображены две различные плоскости a и b, имеющие общую точку A. Сколько общих точек имеют плоскости a и b?
Т.к. плоскости – неограниченны и используя аксиому С2 , получаем ответ: бесконечно много точек, расположенных на прямой, являющейся их линией пересечения.
Задача: Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? Объясните ответ.
По аксиоме С3 пересекающиеся данные прямые задают положение одной из плоскостей в пространстве. В пространстве найдётся прямая, не принадлежащая данной плоскости (применяем аксиому С1 , по которой выбрав любую точку, не принадлежащую построенной плоскости, и точку пересечения данных прямых, строим искомую прямую). Такую прямую можно построить.
Роль аксиом в построении геометрии хорошо видна при доказательстве первых следствий, которые в действующем учебнике представлены в виде теорем.
Т.15.1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно построить плоскость, и притом только одну.
Для лучшего выделения всех предложений, используемых при доказательстве следствия, целесообразно доказательство оформить в виде таблицы с двумя колонками “утверждения” и “на основании”.
| Утверждения | На основании |
| Прямая AB, точка С | Аксиома I. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. |
| ABÇAC=A | Если прямые имеют одну общую точку, то они пересекаются |
| плоскость a | Аксиома С3 : Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну. |
| Единственность: $-ет a¢, проходящая через прямую AB и С. ÞaÇa¢ по прямой, которой принадлежат A,B,C. | Аксиома С2 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. |
| A,B,C не лежат на одной прямой | Условие задачи |
| Противоречие. |
Теорема доказана.
Т.15.2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
Т.15.3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
Следствие из Т.15.2.Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.
Выяснить, следствиями из каких аксиом являются сформулированные теоремы? (аксиома 1, аксиома С3 ).
Учащимся необходимо объяснить, что доказательство приводится не только с целью убеждения в истинности какого-либо предположения, но и для того, чтобы свести данное предположение к ранее известным, показать, каким образом из аксиом, определений и уже доказанных теорем следует данное предположение.
1.2 Методика изучения параллельности прямых и плоскостей
Содержание: определения параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве, теорема о существовании и единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, транзитивность параллельности прямых, параллельность прямой и плоскости (определение и признак), параллельность плоскостей (определение и признак), изображение пространственных фигур на плоскости.
Наряду с обычными целями обучения геометрии здесь большую роль играет цель формирования у учащихся пространственного представления и воображения.
Методика изучения определения параллельных и скрещивающихся прямых построена с помощью логической операции отрицания: “Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются”. “Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися ”. Точный смысл понятий: “прямые не пересекаются”, “прямые не лежат в одной плоскости” может быть получен с помощью операции отрицания понятий “прямые пересекаются”, “прямые лежат в одной плоскости”.
Методическая схема изучения параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве
1. Сообщить определения;
2. проиллюстрировать эти понятия на модели куба, классной комнате, рисунке;
3. провести логический анализ формулировки определения;
4. выполнить задания на нахождение параллельных и скрещивающихся прямых на модели (рисунке) куба;
5. сопроводить показ параллельных и скрещивающихся прямых соответствующими обоснованиями.
Для облегчения логического анализа определений и построения отрицания полезно на доске выполнить следующие записи:
1. прямые a и b пересекаются: имеют общую точку, и притом только одну;
2. прямые a и b не пересекаются: не имеют общих точек или общих точек более одной.