Реферат: Неопределенные бинарные квадратичные формы

,

тогда

Предположим , значит:

,

Таким образом, форма — это есть число . В связи с тем, что отношение эквивалентности бинарных квадратичных форм имеет свойство симметричности, значит, любое число, которое выглядит, как можно заменить на .

Свойствами рефлективности симметричности и транзитивности обладает отношение собственной эквивалентности бинарных квадратичных форм.

Следуя этому утверждению, можно сказать, что если для целого числа при некоторых целых и , а также для квадратичной формы выполняется равенство , значит, квадратичная форма представляет число .

Множество всех бинарных квадратичных форм эквивалентных форме называют классом форм.

В силу предложения 2 и определения 5 можно сказать, что множество бинарных квадратичных форм данного дискриминанта распадается на классы форм, собственно эквивалентных относительно унимодулярного целочисленного преобразования переменных (2).

Далее, в зависимости от знака дискриминанта , бинарные квадратичные формы делятся на определенные и неопределенные формы.

Определение 6. Квадратичная форма дискриминанта называется определенной, если и неопределенной, если . Такое определение подсказано тем, что при бинарная квадратичная форма принимает значения только одного знака (положительные при и отрицательные при ), а при она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Теория неопределенных бинарных квадратичных форм существенно отличается от теории определенных форм, и мы будем рассматривать в данной работе только неопределенные формы.

Рассмотрим теперь вкратце теорию приведения неопределенных бинарных квадратичных форм. Суть этой теории состоит в выделении в каждом классе так называемых приведенных форм — «стандартных» форм класса. Рассматривая квадратичные формы положительного дискриминанта, будем считать ее коэффициенты произвольными вещественными числами. Кроме того, будем предполагать, что крайние коэффициенты и формы отличны от нуля и корни уравнения вещественны, различны и иррациональны.

Назовем корень этого уравнения первым, а — вторым корнем формы (см. [1]), причем есть дискриминант формы .

Определение 7. Неопределенная квадратичная форма

с корнями называется приведенной, если .

Покажем, что у приведенной формы выполняются неравенства , , причем и заключаются между и . В самом деле, из условия получаем

,

, ,

Далее, , , т.е. выполняется указанное неравенство . Обратимся теперь к условиям:

и . Из них следуют

, (*)

Аналогично имеем

, (**)

Покажем теперь, что . Допустим, что . Тогда из неравенств (*) и (**) следуют

и

Но последние два неравенства не могут одновременно выполняться. Значит, наше допущение, что неверно, и мы получаем неравенства . Наконец, покажем, что

и