Математика / Реферат: Неопределенные бинарные квадратичные формы

Реферат: Неопределенные бинарные квадратичные формы

Предложение 2. Если формы , , ,… представлены следующим образом

, , ,…, , , ,…, то все величины будут иметь одинаковые знаки, причем все будут положительны.

Отсюда получается следующее свойство периодов.

Предложение 3. Количество квадратичных форм, из которых состоит период заданной формы , всегда четно.

Доказательство предложения 3 см. [1,2].

Заметим, что каждая форма , которая содержится в периоде формы , будет иметь тот же период, что и .Именно, этот период будет таков:

Отсюда получается следующее свойство периодов.

Предложение 4. Все целочисленные неопределенные бинарные квадратичные формы с одинаковым дискриминантом могут быть разбиты на периоды.

Доказательство (см. [2] разд. V , п.187) основано на том их свойстве, что периоды либо совпадают, либо они попарно не пересекаются, и каждая форма попадет только в один из периодов.

Пример. Все приведенные неопределенные формы с дискриминантом разбиваются на следующие шесть периодов:

I. ;

II. ;

III. ;

IV. ;

V. ;

VI .

Видим, что в каждом периоде содержится четное число приведенных форм: в периодах I и II по четыре формы, а в остальных периодах по шесть форм.

Особы интерес представляют так называемые обратные и двусторонние формы, показывающие наряду с гауссовой композицией форм глубокий смысл различия собственной и несобственной эквивалентностью целочисленных бинарных квадратичных форм.

Определение 3. Формы и , и их классы называются обратными: если — один из этих классов, то другой класс будет обратным к классу в смысле композиции классов.

Замечание. Так как форма переводится в форму подстановкой определителя , то каждая форма класса несобственно эквивалентна каждой форме из обратного класса , и обратно, при несобственной эквивалентности двух форм, их классы будут обратными. (При этом еще учитывается, что если форма несобственно эквивалентна , а собственно эквивалентна , то несобственно эквивалентна ).

Определение 4. Класс бинарных квадратичных форм, совпадающий с обратным, называется двусторонним классом.

Из этого определения с учетом сделанного выше замечания получается предложение 5: каждая форма двустороннего класса несобственно эквивалентна самой себе.

Доказательство. Пусть — двусторонний класс и . Покажем, что несобственно эквивалентна самой себе. Обозначим .

Тогда форма , и пусть переводится в подстановкой , и запишем это в следующем виде: . Т. к. — двусторонний класс, т.е. , то . Но так как , то и собственно эквивалентны, то найдется подстановка определителя , что . Тогда получаем , т. е. . Но так как , то форма несобственно эквивалентна самой себе.