Реферат: Неопределенный интеграл

Первый интеграл берется подстановкой :

Второй интеграл- обозначим его через Ik-запишем в виде

,

полагая

(по предположению корни знаменателя комплексные, а следовательно, ). Далее поступаем следующим образом:

.

Преобразуем интеграл:

Интегрируя по частям ,будем иметь

.

Подставляя это выражение в равенство (1), получим

=

=.

В правой части содержится интеграл того же типа, что , но показатель степени знаменателя подынтегральной функции на единицу ниже ;таким образом, мы выразили через Продолжая идти тем же путем, дойдем до известного интеграла:

Подставляя затем всюду вместо t и m их значения, получим выражение интеграла (4) через х и заданные числа А, B, p,q.

Интегрирование рациональных дробей

Пусть требуется вычислить интеграл от рациональной дроби Если данная дробь неправильная, то мы представляем ее в виде суммы многочлена M(x) и правильной рациональной дроби . Последнюю же представляем по формуле в виде суммы простейших дробей. Таким образом, интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и нескольких простейших дробей.

Вид простейших дробей определяется корнями знаменателя f(x). Здесь возможны следующие случаи.

1.Случай.

Корни знаменателя действительны и различны, т. е.

F(x)=(x-a)(x-b)…(x-d).

В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1типа:

и тогда