Реферат: Невласні інтеграли Поняття та різновиди невласних інтегралів
Отже інтеграл г) є збіжним при > 1 і розбіжним при ≤ 1.
У розглянутих прикладах обчислення невласного інтеграла грунтувалося на його означенні. Проте у деяких випадках немає необхідності обчислювати інтеграл, а достатньо знати, збіжний він чи ні. Наводимо без доведення деякі ознаки збіжності.
Теорема 1. Якщо на проміжку [а; +∞) функції f(x) і g(x) неперервні і задовольняють умову 0 ≤ f(x)≤ g(x), то із збіжності інтеграла
(56)
випливає збіжність інтеграла
(57)
а із розбіжності інтеграла (57) випливав розбіжність інтеграла (56).
Наведена теорема має простий геометричний зміст (рис. 7.13); якщо площа більшої за розмірами необмеженої області є скінченне число, то площа меншої області є також скінченне число; якщо площа меншої області нескінченно велика величина, то площа більшої області є також нескінченно велика величина.
Приклад
Дослідити на збіжність інтеграли:
а) ;
а) Оскільки :
і інтеграл збігається, то за теоремою і заданий інтеграл також збігається.
б) Цей інтеграл розбігається, бо :
і інтеграл розбігається.
Теорема 2. Якщо існує границя
, ,
то інтеграли (56) і (57) або одночасно обидва збігаються, або одночасно розбігаються.
Ця ознака іноді виявляється зручнішою, ніж теорема 1, бо не потребує перевірки нерівності 0 £f(x)≤ g(х).
Приклад
Дослідити на збіжність інтеграл
Оскільки інтеграл збігається і
то заданий інтеграл також збігається.
В теоремах 1 і 2 розглядались невласні інтеграли від невід'ємних функцій. У випадку, коли підінтегральна функція є знакозмінною, справедлива така теорема.
Теорема 3. Якщо інтеграл збігається, то збігається й інтеграл .
Приклад
Дослідити на збіжність інтеграл .
Тут підінтегральна функція знакозмінна. Оскільки
то заданий інтеграл збігається.