Реферат: Невласні інтеграли Поняття та різновиди невласних інтегралів
Якщо разом з інтегралом збігається й інтеграл , то інтеграл називають абсолютно збіжним, а функцію f(x) — абсолютно інтегровною на проміжку [а; +∞).
Якщо інтеграл збігається, а інтеграл розбігається, то інтеграл називають умовно (або неабсолютно) збіжним.
Тепер теорему 3 можна перефразувати так: абсолютно збіжний інтеграл збігається .
Отже, для знакозмінної функції викладені тут міркування дають змогу встановити лише абсолютну збіжність інтеграла. Якщо ж невласний інтеграл збігається умовно, то застосовують більш глибокі ознаки збіжності [II].
Приклад
Дослідити на збіжність інтеграл
Оскільки
то за теоремою 3 інтеграл збігається.
Отже, збігається, причому абсолютно, і заданий інтеграл, а функція f(x)= на проміжку [0; +∞) є абсолютно інтегровною.
2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду).
Нехай функція f(x)визначена на проміжку [а, b). Точку х = bназвемо особливою точкою функції f(х), якщо f(x) → ∞ при х → b - 0 (рис. 7.14). Нехай функція f(x)інтегровна на відрізку [а; b— ] при довільному > 0 такому, що b - > ; тоді, якщо існує скінченна границя
(58)
її називають невласним інтегралом другого роду і позначають так:
(59)
Отже, за означенням
У цьому випадку кажуть, що інтеграл (59) існує або збігається. Якщо ж границя (58) нескінченна або не існує, то інтеграл (59) також називають невласним інтегралом, але розбіжним.
Аналогічно якщо х = — особлива точка (рис. 7.15), то невласний інтеграл визначається так:
Якщо f(x) необмежена в околі якої-небудь внутрішньої точки с0 (а; b), то за умови існування обох невласних інтегралів і за означенням покладають (рис. 7.16).
Нарешті, якщо а та b— особливі точки, то за умови існування обох невласних інтегралів і за означенням покладають
де с — довільна точка інтервалу (а; b).
Приклад
Обчислити невласні інтеграли:
а) ; б)
а)
Отже, інтеграл а) збіжний.
б) Якщо ¹ 1, то
Якщо = 1, то
Таким чином, інтеграл б) збігається при 0 < < 1 і розбігається при ³ 1.
Бета-функція, або інтеграл Ейлера першого роду, визначається формулою
(91)
Можна довести, що для всіх (0, +∞) і (0, +∞) інтеграл (91) збігається. Варто зазначити, що відповідний невизначений інтеграл , згідно з теоремою Чебишева (п. 1.7), виражається через елементарні функції лише в окремих випадках. Отже, бета-функція не є елементарною.
Гамма-функцією, або інтегралом Ейлера другого роду, називається інтеграл
(92)