Реферат: Нормальный закон распределения

S{Х), S{X}- среднеквадратическое отклонение соответственно единичных значений Х и среднего арифметического Х.

На рис.1.2 показаны кривые дифференциального закона распределе­ния Ф( t ) для различных степеней свободы f=N-1 , по которым вычисляют несмещенную оценку дисперсии S² { Х } . При сравнитель­но небольших N кривая Ф( t ) более пологая, чем нормальный закон распределения Ф(Х). При N----- кривая Ф( t ) приближается к кривой нормированного нормального распределения. Из рис.1.2 видно, что t-распределение симметрично относительно t=0, поэтому в таблицах, где даны критические значения t_кр = t _q,f для принятого уровня значимости q и имеющегося чис­ла степеней свободы f , задаются только положительные t _кр .

Если при расчете t по формуле (1.3) при подстановке в нее вместо М{X} предполагаемого значения С окажется, что t< t _кр , то можно сделать вывод о том, что гипотеза М{X} = С не проти­воречит результатам наблюдения при принятой уровне значимости q .

В противном случае эта гипотеза отвергается с тем же уровнем значимости q . При этом остается возможность совер­шить ошибку первого рода, т.е. отвергнуть верную гипотезу с вероят­ностью q . -

Рассмотрим использование t-критерия Стьюдента для построения доверительного интервала для математического ожидания.

При t=t _кр разность [X - M{Х}] в (1.3) равна половине шири­ны доверительного интервала __ т.е.

Доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью P = I - q находится математическое ожидание M{X} , определяется следующими выражениями:

Поскольку мате­матическое ожидание М{X} есть истинное, объективно существующее неслучайное значение, а границы интервала - случайные величины (за счет наличия в них случайных величин X и S{X}), то правильно будет говорить о том, что доверительный интервал (1.5), (1.6) с ве­роятностью Р = I - q накрывает М { X }.

1.7. Критерий Фишера

Критерий Фишера применяется при проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей, распределенных по нормальному закону.

F-критерий Фишера называют дисперсионным отношением, так как он формируется как отношение двух сравниваемых несмещенных оценок дисперсий:

причем в числителе ставится большая из двух дисперсий. Расчетное F сравнивают с _____________, которое находятиз таблиц, для степеней свободы _____________________________________где N₁ - число элементов выборки, по который вычислена _______ .

N₂ - число элементов выборки, по которым получена оценка дисперсии ________.

Если F < F _кр , то принимается нулевая гипотеза о равенстве генеральных дисперсий _________________ при принятом уровне значимости q .

На рис. 1.3 показаны кривые распределения _____. Зачернена об­ласть критических значений F .

На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить .точность приборов, инструментовили методов измерений. Предпочтительнее тот прибор, инструмент или метод, который обеспечи­вает наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. наименьшую дис­персию.

. .

Кривые F- распределения Фишера

Рис.1.3

Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т.е. генераль­ные дисперсии одинаковы, то различие несмещенных оценок дисперсий незначимо и объясняется случайнымипричинами, в частности случайным отбором объектов выборки. Например, если различие несмещенных оценок дисперсий результатов измерений, выполненных двумя приборами, оказа­лось незначимым, то приборы имеют одинаковую точность.

Если нулевая гипотеза будет отвергнута, т.е. генеральные диспер­сии неодинаковы, то различие несмещенных оценок дисперсий значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а является следствием того, что сами генеральные дисперсии различны. Например, если разли­чие _________________ результатов измерений, произведенных двумя приборами, оказалась значимым, то точность приборов различна.

1.8. Критерий Кохрэна

G -критерий Kохрэна применяется для оценки однородности несмещенных оценок дисперсий, вычисленных по одинаковому чис­лу N наблюдений. При этом генеральные совокупности должны быть распределены нормально. Критерий формируется как отношение максимальной из сравниваемых оценок дисперсий к сумме всех K дисперсий;

Если G<G_кр =G_q,f1,f2 , то оценки дисперсий признаются однородными или, другими словами, различаются незначимо. В этом слу­чае с уровнем значимости q ммнимается нулевая гипотеза, состоящая в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой: _____________________________________________.Числа степе­ней свободы числителя f1 и знаменателя f2 определяются условиями

Если требуется оценить генеральную дисперсию, то при условии од­нородности оценок дисперсий целесообразно принять в качестве ее оцен­ки среднее арифметическое несмещенных оценок дисперсий

1.9. Критерий Пирсона

?????????? ????? ????????????? ??????????????? ?????????? ???????????? ????

гдеM { X }, ____ — соответственно математическое ожидание и диспер­сия случайной величины. согласованности изучаемого распределения с нормальным

Для проверки гипотезы о соответствии, экспериментального закона распределения случайной величины нормальному применяют критерий Пир­сона или, как его иначе называют, критерий X² (хи-квадрат),так как принятие и отклонение гипотезы основаны на X² -распределении.

Использование критерия Пирсона основано на сравнении эмпиричес­ких (наблюдаемых) ___ и теоретических (вычисленных в предположении нормального распределения) _____ частот. Обычно ____ и _____ различны.