Реферат: Нормированное пространство. Банахово пространство

2. Нормированные пространства

Нормированные пространства объединяют структуры линейных пространств.

Будем рассматривать некоторое линейное пространство.

Полунормой называют функционал p, определённый на и удовлетворяющий следующим аксиомам:

1. (неотрицательность),

2. (аксиома треугольника),

3. для любого числа (абсолютная однородность).

Нормой называют функционал p, удовлетворяющий следующим аксиомам:

1.,

2.,

3. (аксиома треугольника),

4. для любого числа (абсолютная однородность).

Таким образом, норма - это полунорма, на которую наложено дополнительное условие: норма равна нулю только на нулевом элементе.

Определение: Нормированным пространством называют линейное пространство с заданной на нём нормой.

Норму элемента линейного пространства обозначают.

Любое нормированное пространство можно рассматривать как метрическое, если ввести в нём метрику следующим образом

Такую метрику называют метрикой, индуцированной нормой. Это означает, что на нормированные пространства можно перенести все понятия и факты, относящиеся к метрическим пространствам.

В частности, сходимостью по норме называется сходимость в метрике, индуцированной данной нормой.

Непрерывность линейных операций и нормы.

В нормированном пространстве сумма, произведение на число и норма непрерывны: если последовательности {xn} и {yn} сходятся по норме соответственно к x и y: и, а числовая последовательность {an} сходится к пределу a, то

Рассмотрим, сумму двух элементов:

Так как и, то правая часть неравенства сходится к нулю, а значит, к нулю сходится и его левая часть. Непрерывность суммы доказана.

Докажем теперь непрерывность умножения вектора на число. Для этого нам нужно доказать, что числовая последовательность сходится к нулю. Представим разность anxn − ax следующим образом:

Согласно аксиоме треугольника для нормы:

Рассмотрим каждое из слагаемых по отдельности:

Таким образом, мы установили, что непрерывность операции умножения на число доказана.

Наконец, докажем непрерывность нормы. Каждый элемент xn можно представить в виде

xn = (xn − x) + x, по аксиоме треугольника:

или