Реферат: Нормированное пространство. Банахово пространство

Содержание

Введение

Основные понятия и определения

1. Линейные пространства

2. Нормированные пространства

3. Банаховы пространства

4. Компактные множества

Введение

В данной работе изучаются такие важные элементы функционального анализа как линейно-нормированные пространства.

Изучение пространств актуально в современном процессе изучения теорий функций и поэтому необходимо рассмотреть все основные аспекты теории нормированных пространств.

Цель: изучить структуру построения нормированного пространства, рассмотреть банахово пространство.

Для того чтобы определить роль нормированных пространств, необходимо рассмотреть понятие линейного пространства и что оно собой представляет. На основе линейного пространства можно перейти к изучению нормы, а затем ввести понятие «нормированного пространства», определить, что является его подпространством.

Одной из поставленных задач является: развить понятие Банахова пространства. Для ее решения используется внутренняя логика развития теории нормированных пространств.

Основные понятия и определения

1. Линейные пространства

Определение: Непустое множество элементов называется линейным, если оно удовлетворяет таким условиям:

I. Для любых двух элементов определен единственный элемент, называемый суммой и обозначаемый, причем

1);

2);

3) в существует такой элемент 0, что для всех;

4) для каждого существует такой элемент, что.

II. Для любого числа и любого элемента определен элемент, причем

1);

2);

3);

4);

Примеры линейных пространств

1. Пространство действительных чисел является линейным пространством по операциям сложения и умножения.

2. – пространство, элементами которого являются последовательности чисел, удовлетворяющих условию с операциями,

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--