Реферат: Нормированное пространство. Банахово пространство

Тогда возьмём нижнюю грань от левой и правой части этого неравенства:

Таким образом, все аксиомы нормы действительно выполнены.

3. Банаховы пространства

Определение: Расстоянием (метрикой) между двумя элементами и называется вещественное неотрицательное число, обозначаемое и подчиненное трем аксиомам:

1);

2);

3);

Определение: Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если при

Справедливы утверждения:

1. Если последовательность сходится к некоторому пределу, то она фундаментальна

Доказательство: пусть, тогда, при

2. Всякая фундаментальная последовательность ограничена

Определим расстояние в нормированном пространстве, полагая для любых. Тогда означает, что . Это сходимость по норме.

Фундаментальная последовательность в нормированном пространстве в соответствии с определением расстояния характеризуется условием, при

Определение: Нормированное пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность его элементов имеет предел.

Определение: Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.

Литература

1. Колмогоров, А.Н. Элементы теорий функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. ¬¬– М.: Физматлит, 1967.

2. Князев, П.Н. Функциональный анализ / П.Н. Князев– Изд. 2, перераб. М., 1979.

3. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа/ Л.А. Люстерник В.И. Соболев– М., 1980.