Реферат: Обчислення визначеного інтеграла функції F на відрізку A B за формулою Сімпсона

для залишкового члена R(f) дістанемо:

Невідомі коефіцієнти А і В доберемо так, щоб

1-2А-В=0,

1/3!-А=0.

Звідси знаходимо А=1/6, В=2/3.

За цих значень А і В залишковий член квадратурної формули (6.30)

Але f’’’’ неперервна на [x0-h;x0+h], тому існує точка xÎ[Co-H,Co+H] така, що

Отже,

Таким чином, триточкову квадратурну формулу (6.30) можна записати так :

Це і є квадратурна формула Сімпсона, або формула парабол із залишковим членом. Вона точна для многочлена третьго степеня, бо похідна четвертого від такого многчлена дорівнює нулю. З формули (6.31) легко знайти таку оцінку для абсолютної похибки чисельного інтегрування за формулою Сімпсона :

Якщо треба обчислити з достатньою точністю, то відрізок [a,b] ділять на 2n рівних відрізків завдовжки і до кожного з відрізків [X2k;X2k+2] (k=0,1,..., n-1) застосовують формулу Сімпсона (6.32).

Тоді де

Оскільки f’’’’(xk)=f’’’’(x),xÎ[A;B].

Таким чином дістаємо узагальнену формулу Сімпсона (парабол) із залишковим членом вигляду:

Залишковий член узагальненої формули Сімпсона

Звідси дістаємо таку оцінку абсолютної похибки чисельного інтегрування за узагальненою формулою Сімпсона :

Якщо наближене значення інтеграла треба обчислити з точністю E>0, відповідний крок інтегрування h визначається нерівністю

,

або, що те саме, відрізок [a;b] треба поділити на n рівних частин де