Реферат: Общая гидродинамика

Последний принцип даёт возможность утверждать, что в число уравнений равновесия жидкости (равновесия в Даламберовском смысле) во всяком случае входить условия равновесия соответствующего твёрдого тела. То есть, что условия равенства нулю главного вектора и главного момента приложенных сил являются необходимыми (но, конечно не достаточными) условиями равновесия жидкого объёма.

Итак, имеем условие равенства нулю главного вектора:

(6)

и равенство нулю главного момента:

(7)

Рассмотрим сначала уравнение (6). Превратим второй поверхностный интеграл в объёмный, для этого основываясь на формуле (3) перепишем его в виде:

и применим к каждому из входящих сюда интегралов вторую интегральную формулу, тогда получим:

(8)

Подставляя в (6) найдём:

(9)

откуда в силу произвольности выбранного объёма следует:

(10)

Это и есть искомое уравнение движения жидкости, выраженное через напряжения.

Обратимся к рассмотрению уравнения (7). Аналогично только что проделанному преобразованию перепишем поверхностный интеграл в виде:

и затем применим вторую интегральную формулу

тогда будем иметь, подставляя в (7):

(11)

По (10) второй сомножитель некоторого произведения, входящего под знак первого интеграла обращается в нуль, остаётся:

откуда в силу произвольности t следует:

(12)

Возьмём проекцию этого равенства на первую ось :

откуда следует:

Аналогичным путём, проектируя (12) на и , найдём, что вообще: