Реферат: Общая гидродинамика

Таким образом равенство нулю главного момента приводит к условиям симметричности тензора напряжений.

Обычно в теории упругости (и сопротивления материалов) составляющие напряжений с разными индексами при называют касательными напряжениями, так как они лежат в плоскости площадки, к которой приложено полное напряжение. Составляющие с одинаковыми индексами называют нормальными напряжениями. Полученное равенство (13) представляет ничто иное, как известную в сопротивлении материалов теорему взаимности касательных напряжений.

Итак, из двух некоторых условий равновесия жидкого объёма по принципу Даламбера, получено только одно векторное уравнение движения жидкости (10). Имея в виду дальнейшие его преобразования, перепишем ещё его в проекциях:

(14)

В этой системе, при заданных объёмных силах имеем три неизвестных проекции скорости , , и шесть неизвестных проекций напряжений (по условию симметричности тензора напряжений), кроме того мы не знаем ещё как изменяется плотность r жидкости в зависимости от изменения времени, скоростей и др. Таким образом, перед нами стоит совершенно неопределённая задача, что и можно было ожидать, так как мы написали только уравнения для твёрдого объёма, совершенно не принимая во внимание его деформации. Естественно, что мы не сможем обойтись без дополнительных физических предположений. Делая ряд физических гипотез о внутренних силах и деформациях жидкого объёма, мы в дальнейшем доопределим нашу задачу.

Прежде всего мы сделаем совершенно необходимое предположение о сохранении массы движущегося объёма жидкости t, так как без этого предположения мы не сможем пользоваться обычными уравнениями динамики постоянной массы (и ограничиваемся таким образом случаем скоростей значительно меньших скорости света). Это предположение приводит нас к условию:

(15)

Условие это может быть переписано так:

Вспоминая из кинематики жидкости, что скорость объёмного расширения равна произведению , найдём:

Отсюда опять, по условию произвольности выбора объёма t, получим:

(16)

Это и есть условие сохранения массы или, как его ещё называют, уравнение непрерывности.

Этому уравнению можно придать другие различные формы. Например, замечая, что:

перепишем уравнение непрерывности так:

или по известной формуле векторного анализа:

(17)

Если поле плотности стационарно, то и уравнение (17) переходит в такое:

Наконец, в случае жидкости с постоянной плотностью (несжимаемая жидкость), получаем уравнение непрерывности в виде:

(18)

3. Главные напряжения в жидкости. Среднее давление. Обобщённый закон Гука. Связь между тензором напряжений и тензором деформации.

Дальнейшие дополнительные физические допущения будут касаться связи между напряжениями в жидкости и деформациями в ней. Чтобы сделать это допущение наиболее физически наглядным, необходимо сначала свести тензор напряжений и тензор деформаций к такому простейшему виду, при котором число компонент сводится к наименьшему числу.

Для этого необходимо перейти от произвольных координат к главным осям тензоров.

Обозначим главные оси тензора напряжений , , и введём следующую таблицу косинусов между произвольными осями ,, и этими главными осями: