Реферат: Определители матрицы и системы линейных алгебраических уравнений
Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:
A×O = O; O×A = O,
где О – нулевая матрица.
2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:
(АВ)С=А(ВС).
3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:
А(В + С) = АВ + АС
(А + В)С = АС + ВС.
4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:
a(AB) = (aA)B = A(aB).
5) Если определено произведение АВ, то определено произведение ВТ АТ и выполняется равенство:
(АВ)Т = ВТ АТ , где
индексом Т обозначается транспонированная матрица.
6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB.
Понятие det (определитель, детерминант) будет рассмотрено ниже.
Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.
А = 
; В = АТ =
;
другими словами, bji = aij .
В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:
(ABC)T = CT BT AT ,
при условии, что определено произведение матриц АВС.
Пример. Даны матрицы А = 
, В = 
, С = 
и число a = 2. Найти АТ В+aС.
AT = 
; AT B = × = 
= 
;
aC = 
; АТ В+aС = + = 
.
Пример. Найти произведение матриц А = 
и В = 
.
АВ = × = 
.
ВА = × = 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21.
Пример. Найти произведение матриц А=
, В = 
АВ = ×= 
= 
.