Реферат: Основная теорема алгебры

|a₀ xⁿ |>k|a₁ x^n-1 +a₂ x^n-2 +….+a_n | (2)

Доказательсво.

Пусть А=max(), тогда

пологая |x| >1, получим

откуда

следовательно неравенство (2) будет выполняться если |x|>1 и

Лемма №2 доказана.

Лемма №3 .

Доказательство.

(3)

применим лемму 2: при k=2 существует такое N₁ , что при |x|> N₁

|a₀ xⁿ |>2|a₁ x^n-1 +a₂ x^n-2 +….+a_n |

откуда

|a₁ x^n-1 +a₂ x^n-2 +….+a_n |<|a₀ xⁿ |/2

тогда из (3)

при |x|>N=max(N₁ ,N₂ ) |f(x)|>M что и тебовалось доказать.

Лемма №3(Лемма Даламбера).

Если при x=x₀ многочлен f(x) степени n ,не обращаеться в нуль, то существует такое приращение h, в общем случае комплексное, что

|f(x₀ +h)|<|f(x)|

Доказательство.

По условию f(x₀ ) не равно нулю, случайно может быть так, что x₀ является корнем f’(x),..,f^(k-1) (x). Пусть k-я производная будет первой, не имеющей x₀ своим корнем. Такое k существует т.к.

f⁽ⁿ⁾ ( x₀ )=n!a₀

Таким образом

?.? f(x₀ ) ?? ????? ???? ?? ??????? ??? ????? ????????? ?? f(x₀ )