Реферат: Основні задачі математичної фізики

Тоді

x_х =1, x_t =-a, h_x =1, h_t =a,

u_x =u_x x_x +u_h h_x =u_x +u_h ,

u_xx =u_xx x_x +u_{x h} h_x +u_{h x} x_x +u_hh h_x =u_xx +2u_{x h} +u_hh ,

u_t =u_x x_t +u_h h_t =-au_x +au_h ,

u_tt =-au_xx x_t -au_{x h} h_t +au_{h x} x_t +au_hh h_t =a² u_xx -2a² u_{x h} +a² u_hh .

Підставивши u_xx , u_tt в вихідне рівняння, отримаємо

a² u_xx -2a² u_{x h} +a² u_hh -a² (u_xx +2u_{x h} +u_hh )=0,

-4a² u_{x h} =0,

u_{x h} =0.

Отримане рівняння можна записати як:

.

Звідси випливає, що u_h не залежить від x:

u_h =f^* (h),

де f^* (h) – довільна функція h.

Інтегруючи останню рівність по h при фіксованому x, маємо

.

де f₁ (x) і f₂ (h) – довільні двічі диференціюючі функції аргументів x і h.

Враховуючи, що x=х-at і h=x+at, дістаєм загальне рішення даного рівняння у вигляді

u(x,t)=f₁ (x-at)+f₂ (x+at).

Визначимо функції f₁ і f₂ так, щоб функція u(x,t) задовільняла початковим умовам:

u(x,t)=f₁ (x)+f₂ (x)=j(x),

u_t (x,0)=-af¢₁ (x)+af¢₂ (x)=y(x).

Таким чином, для знаходження функцій f₁ і f₂ маємо систему рівнянь

f₁ (x)+f₂ (x)=j(x),

-af¢₁ (x)+af¢₂ (x)=y(x).

Інтегруючи другу рівність, отримаємо

де х₀ і С – постійні. Тоді

f₁ (x)+f₂ (x)=j(x),

.

Звідси знаходимо

,

і

.

Підставивши у вираз для u(x,t) знайдені значення f₁ і f₂ , отримаємо

,

.

Ця рівність називається формулою Даламбера.

Раніше функцію u(x,t) ми записували як:

u(x,t)=f₁ (x-at)+f₂ (x+at),

де перший додаток

при x-at=const зберігається постійне значення. Отже, функція f₁ (x-at) описує розповсюдження прямої бігучої хвилі без викревлення.

Аналогічно функція

являє собою обратну біжучу хвилю без викревлень, щорозповсюджуються з тією ж швидкістю, але в від¢ємному напрямку вісі 0Х.

В цілому процес розповсюдження коливань, функції u(x,t), представляє собою суперпозицію (накладання) прямої та оберненої біжучих хвиль без викревлень.

Лекція №2

План

1. Рівняння теплопровідності.

2. Розв ’ язок задачі методом перетворення Фур ’ є.

3. Рівняння Пуассона.

4. Розв ’ язок задачі Діріхле в крузі методом Фур ’ є.

Питання до самоконтролю