Реферат: Основні задачі математичної фізики

Рішаючи їх знайдем:

, X=Acoslx+Bsinlx.

Підставляючи в (3), отримаємо:

(7)

постійна С включається в А(l) і В(l).

Для кожного значення l ми торимаєм рішення виду (7). Произвольн ы е постійні А і В для кожного значення l мають визначені значення. Виходячі з цього можна рахувати А і В функціями від l. Сума рішень виду (7) також є рішенням:

.

Інтегруючи вираз (7) по параметру l в границях від 0 до ¥ також отримаємо рішення

, (8)

якщо А(l) і В(l) такі, що цей інтеграл, його похідна по tі друга похідна по х існують і дістаютьсяшляхом диференціювання інтеграла по t і по х. Підберем А(l) і В(l) так, щоб рішення u(x,t) задовільняло умові (2). Покладаючись в рівності (8) t=0, на основі умови (2) дістанемо:

. (9)

Припустимо, що функція j(х) такова, що вона представіма інтегралом Фур’є:

або

. (10)

зрівнюючи праві частини (9) і (10), отримаємо:

(11)

підставляючи знайдені вирази А(l) і В(l) у формулу (8) отримаємо:

або, міняючи порядок інтегрування, отримаємо

. (12)

Це і є рішення поставленої задачі.

Перетворемо формулу (12). Обрахуємо інтеграл, що стоїть в круглих душках:

. (13)

Це перетворення інтеграла зроблено шляхом підстановки

. (14)

Позначимо

. (15)

Диференціюючи, отримаємо:

.

Інтегруючи по частинах, знайдем:

або

Інтегруючи це диференціальне рівняння, отримаєм:

. (16)

Знайдем постійну С. З (15) слідує:

Отже, в рівності (16) має бути

.

Тоді,

. (17)

Значення (17) інтеграла (15) підставляємо у (13)

.

Підставляючи замість b його вираз (14), отримаємо кінцеве значення інтеграла (13):

. (18)

Підставивши цей вираз інтеграла у рішення (12), отримаємо:

. (19)

Ця формула, інтеграл Пуассона, представляє собою рішення поставленої задачі.

Встановимо фізичний зміст формули (19). Розглянемо функцію

0 при -¥<x<x₀ ,

j^* (х)= j(x) при x₀ £x£x₀ +Dx, (20)

0 при x₀ +Dx<x<¥.

Тоді функція

(21)

є рішенням рівняння (1), що приймає при t=0 значення j^* (х). Приймаючи до уваги (20), ми можемо записати:

.