Реферат: Основные положения синтеза электрических цепей

Аппроксимация по Чебышеву, или равномерная наилучшая аппроксимация, формулируется как задача отыскания таких коэффициентов аппроксимирующей функции f (х), при которых наибольшее отклонение функции f (х) от заданной аналитически ξ (х) в интервале аппроксимации было бы минимальным, то есть находится

Задача равномерного наилучшего приближения функций была впервые сформулирована великим русским математиком П.Л. Чебышевым (1821-1894), а указанные им общие методы её решения заложили основы теории приближения функций, развитой в работах наших соотечественников Е.И. Золотарёва, А.А, Макарова, С.Н. Бернштейна и др.

Простейшим и наиболее полно изученным случаем чебышевской аппроксимации является задача полиномиального приближени я.

Будем полагать, что функция ξ (х) непрерывна на заданном интервале. Тогда оказывается справедливой следующая теорема Чебышева :

Для того, чтобы полином f(х) степени n наименее отклонялся от заданной функции ξ(х) в интервале х_а <х<х_{b .} необходимо и достаточно, чтобы в этом интервале разность достигала своих наибольших по абсолютной величине значений не менее чем n+2 раза, причём знаки этих наибольших отклонений должны чередоваться.

На рисунке 2 показан результат чебышевской аппроксимации некоторой функции ξ (х) алгебраическим полиномом 3-ей степени (n=3).

Рисунок 2.

Здесь число наибольших отклонений в интервале равно n+2=5, знаки отклонений чередуются, а по величине отклонения равны.

Отметим, что отыскание полиномов f(х), отвечающим указанным требованиям, является весьма трудоемкой задачей.

В случаях, когда функция ξ(х) задана в табличной или графической форме или задача равномерного наилучшего приближения не имеет аналитического решения, используются в настоящее время численные методы математического программирования.

г) Численные методы решения задачи чебышевской аппроксимации.

Эти методы позволяют осуществить наилучшее равномерное приближение заданных на любом конечном интервале зависимостей произвольного вида.

Рассмотрим один из вариантов численных методов, сводящихся к задаче линейного программирования.

Пусть на интервале задана некоторая, показанная на рисунке 3 зависимость ξ(х) и её нужно наилучшим образом в смысле чебышевского критерия близости аппроксимировать функцией f (х) в качестве которой, ради простоты изложения существа метода, возьмём алгебраический полином 2-ой степени т.е.

f(х) = а₀ х² +а₁ х+а₂

Рисунок 3.

Заменим указанный интервал некоторой совокупностью точек х_а , х₁ ,...., х_.. и пусть их число будет равно a. Функцию ξ(х) также заменим совокупностью точек

ξ (х_а ), ξ (х₁ ),...., ξ (х_b ) и будем решать задачу чебышевской аппроксимации этой совокупности точек полиномом f(х) = а₀ х² +а₁ х+а₂ .

Можно доказать, что если число точек взято достаточно большое, то результаты решения непрерывной и дискретной задач чебышевского приближения совпадают, с точностью до бесконечно малой величины.

Экспериментально установлено, что при аппроксимации полиномами практически достаточным будет выбор числа точек, в 5-10 раз превышающего степень полинома.

Для выбранных точек можно записать следующую систему из неравенства:

(2)

В качестве целевой функции выберем параметр d, который будем минимизировать путём подбора коэффициентов а₀ , а₁ , а₂ , т.е. .

В приведённой постановке решаемая задача полностью вписывается в основную задачу линейного программирования и может быть решена по стандартным программам. Найденные в результате решения этой задачи коэффициенты а₀ , а₁ , а₂ и будут определять полином наилучшего приближения. Аналогичным образом решается задача чебышевского приближения дробно-рациональными функциями.

Достоинства численных методов:

- применимость метода для аппроксимации ξ (х) произвольного вида, заданной аналитически, либо графически, либо таблицей;