Реферат: Получение уравнения переходного процесса по передаточной функции

Корни y₁ ,y₂ ,y₃ ²неполного² кубического уравнения равны:

y₁ =A+B y_2,3 =

A= B= Q=.

Определим численные значения корней ²неполного² кубического уравнения.

Q=

A=

B=

y₁ =A+B=-1.579+(-2.155)=-3.734

=1.867±j0.49968.

Определяем корни данного характеристического уравнения третьего порядка.

p₁ =y₁ -= -3.734-= -6.0 p_3,4 =1.867±j0.4996-= -0.4±j0.5.

Результаты вычисления корней уравнения третьей степени методом приближения и методом Карно - совпали.

Проведем проверку правильности определения корней уравнения по теореме Виета.

-b= -6.8=p₁ +p₂ +p₃ = -6.0-0.4+j0.5-0.4-j0.5= -6.8

-c= -2.46= -6.0*(0.4² +0.5² )= -2.46

РАЗЛОЖЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ РЕГУЛИРУЕМОГО

ПАРАМЕТРАНА СУММУ ПРОСТЫХ ДРОБЕЙ.

Определение уравнения переходного процесса x(t) по изображению регулируемого параметра в случае, когда знаменатель имеет ²n² корней можно выполнить путем разложения изображения на простые дроби, по которым затем получить прямое преобразование Лапласа, согласно табл.1 задания 4.

x(p)=

где c_i - коэффициент разложения;

p_i - корень уравнения.

Коэффициент разложения c_i в зависимости от вида корней уравнения определяется следующим образом.

1 СЛУЧАЙ. Все корни действительные и разные.

c_i =

где A¢(p)= p=p_i .

Тогда уравнение переходного процесса

x(t)=å.

2 СЛУЧАЙ. Среди ²n² действительных корней есть корень p=0.

c_i =

Тогда уравнение переходного процесса

x(t)=+ å.

3 СЛУЧАЙ. Среди ²n² действительных корней есть ²m² пар комплексно-сопряженных.

Для каждой пары комплексно-сопряженных корней p_1,2 = -a±jb определяется два значения коэффициентов c:

с₁ = с₂ =,

которые являются тоже комплексно-сопряженными выражениями c_1,2 =a±jb.

В этом случае определяется модуль |c| и угол j.

|c|= j=arctg

По табл.1 (задание 4) каждой паре комплексно-сопряженных корней соответствует переходный процесс

x(p)=2*|c|*e^{- a t} *cos(bt+j).

В общем случае при наличии в характеристическом уравнении одного нулевого корня, ²k² - действительных корней и ²m² - комплексно-сопряженных переходный процесс описывается уравнением:

x(t)=

Примечание. 4-й случай, когда в уравнении есть кратные вещественные корни в данном задании не рассматриваются.

Рассмотрим несколько примеров такого способа получения уравнений переходного процесса.

ПРИМЕР 5. Единичный импульс подан на систему с передаточной функцией

W(p)=

Определить уравнение весовой функции.

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра, учитывая, что U(t)=1’(t), тогда U(p)=1.

x(p)=

2. Определяем корни характеристического уравнения.

p₁ = -1 p₂ = -2 p₃ = -4.

3. Разложим полученное изображение x(p) на простые дроби.

x(p)=

4. Коэффициенты заложения c_i будем определять согласно 1-му случаю (все корни вещественные и разные).

c₁ (-1)=

c₂ (-2)=

c₃ (-4)=