Реферат: Получение уравнения переходного процесса по передаточной функции

5. Изображение регулируемого параметра.

x(p)=

6. Уравнение весовой функции согласно формуле 5 табл.1 (задание 4).

x(t)= -0.1666*e^-t +1*e^-2t -0.8334*e^-4t .

ПРИМЕР 6. На систему с передаточной функцией примера 5 подано единичное ступенчатое воздействие. Определить уравнение переходной функции.

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра.

x(p)=

2. Определяем корни характеристического уравнения.

p₁ =0 p₂ = -1 p₃ = -2 p₄ = -4

3. Разложим полученное выражение x(p) на простые дроби.

x(p)=

4. Коэффициенты разложения c_i будем определять согласно 2-му случаю (среди вещественных корней есть один нулевой корень).

c₁ (-1)=

c₂ (-2)=

c₃ (-4)=

c₀ (0)=

Проверка: c₁ +c₂ +c₃ +c₀ =0.1666 -0.5 -0.2084 +0.125=0.

5. Изображение регулируемого параметра.

x(p)=

6. Уравнение весовой функции согласно формулам №3 и №5 табл.1 (задание 4).

x(t)=0.125+0.1666*e^-t -0.5*e^-2t -0.2084*e^-4t .

Примечание. Учитывая, что производная по уравнению переходной функции дает уравнение весовой функции, сравним полученные решения в примере №6 с решение в примере №5.

x’(t)=0+(-1)*0.1666*e^-t -(-2)*0.5*e^-2t +(-4)*0.2084*e^-4t =

= -0.1666*e^-t +e^-2t -0.8336*e^-4t .

ПРИМЕР 7. Определить уравнение переходной функции, если ПФ имеет вид:

W(p)=

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра, учитывая, что u(p)=.

x(p)=

2. Определяем корни характеристического уравнения.

p₁ =0 p_2,3 =-3±j4 p₄ =-2

3. Разложим полученное изображение x(p) на простые дроби.

x(p)=

4. Коэффициенты разложения c_i будем определять согласно 3-му случаю (среди ²n² действительных корней есть комплексно-сопряженные).

c₀ (p₁ =0)=

c₁ (p₂ =-3±j4)=

Для возведения в квадрат комплексного числа (-3+j4) представим его в показательной форме.

Полученное комплексное число в показательной форме представим в алгебраической форме.

25*e^{j*253 ° 36’} =

=25*cos253°36’+j*25*sin 253°36’=25*(-0.28401)+j*25*(-0.95882)=

=-7.100-j*23.970.

ПРИМЕЧАНИЕ. Возведение в квадрат можно произвести и без представления его в показательной форме:

(a+jb)³ =(a³ -3ab² )+j(3a² b-b³ ).

(-3+j4)² =((-3)² -4² )+2*(-3)*j4=-7-j24.

Продолжаем определять c₁ (p₂ ).

c₁ (p₂ =-3+j4)=

=

Так как третий корень p₃ = -3-j4 комплексно-сопряженный со вторым p₂ = -3+j4, то значение c₂ (p₃ ) будет отличаться от c₁ (p₂ ) только знаком степени e .

c₂ (p₃ =-3+j4)=1.877*e^{-j*111 ° 06’} .

Определяем значение c₃ (p₄ =-2).

5. Изображение по Лапласу регулируемого параметра в виде простых дробей с учетом полученных значений c₀ ,c₁ ,c₂ ,c₃ .

x(p)=

6. Уравнение переходной функции получаем путем проведения обратного преобразования по Лапласу (см. табл.1 задание 4).

x(t)=10-11.33*e^-2t +1.877*e^{+j111 °} *e^(-3+4j)*t +1.877*e^{-j111 °} *e^(-3-4j)*t =

=10-11.33*e^-2t +1.877*(e^{+j*(111 ° +4t)} +e^{-j*(111 ° +4t)} )*e^-3t .

Выражение в скобках преобразуем согласно формуле Эйлера.

(e^{+j a} +e^{-j a} )=2*cosa

x(t)=10-11.33*e^-2t +1.877*e^-3t *2*cos(4t+111°)=

=10-11.33*e^-2t +3.75*e^-3t *cos(4t-1.204).

Примечание. cos(111°)= -cos(180°-111°)= -cos(-69°)= -cos(-1.204), где 1.204 угол в радианах от j=69°.

Проверим правильность вычисления коэффициентов c .