Реферат: Понятие и сущность науки высшая математика

Уравнение вида Ax + By + C = 0 называется общим уравнением прямой. Оно содержит уравнение любой прямой при соответствующем выборе коэффициентов A , B , C .

Пример. Укажем, как решать две задачи, часто возникающие в связи с уравнением прямой.

Задача 1 . Чтобы общее уравнение прямой превратить в уравнение с угловым коэффициентом, надо это общее уравнение решить относительно y (разумеется, считается, что y входит в уравнение, т.е. что B ≠ 0 . Например, уравнение

5 x + 3 y – 7 = 0

переписывается сначала в виде

3 y = - 5 x + 7,

а затем в виде

y = - 5 /3 x + 7 /3.

Стало быть, угловой коэффициент нашей прямой есть m = - 5/3.

Задача 2 . Пусть требуется построить на чертеже прямую по уравнению. Если в это уравнение не входит одна из координат, то интересующая нас прямая параллельна одной из осей и ее построение очевидно. Если же в уравнение входят и x , и y , то для построения соответствующей прямой надо найти любые две ее точки и соединить их линейкой. Найти же точку, лежащую на нашей прямой, совсем просто: надо выбрать по своему желанию значение одной из координат (все равно какой), поставить его в уравнение и найти значение второй координаты.

Пример. Построить прямую

2 x + 5 y – 11 = 0

Положим y = 1 . Тогда уравнение примет вид 2x – 6 = 0, откуда x = 3 . Значит, одна точка (3; 1) нами уже найдена. Положив, далее, хотя бы y = 3 , получим

2 x + 4 = 0 ,

откуда x = - 2 и второй точкой будет (- 2; 3).

1.2.2 Уравнение прямой в отрезках

Дано уравнение Ax + By + = 0 при условии, что ни один из коэффициентов A, B, C не равен нулю. Преобразуем его к виду:

x / - C / A + y /- C / B = 1.

Вводя обозначения a = - C / A , b = - C / B , получаем:

x/a + y/b = 1 .

Данное уравнение называется уравнением прямой «в отрезках». Числа a и b являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат. Эта форма уравнения прямой удобна для геометрического уравнения прямой.

Пример. Прямая задана уравнением 3 x – 5 y + 15 = 0 . Составить для этой прямой уравнение «в отрезках» и построить прямую. Для данной прямой уравнение «в отрезках» имеет вид:

x/- 5 + y/3 = 1.

Чтобы построить эту прямую, отложим на осях координат Ox и Oy отрезки, величины которых соответственно равны a = - 5 , b = 3 , и проведем прямую через точки M₁ (-5; 0) и M₂ (0; 3).

1.2.3 Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом выглядит следующим образом:

y - y_o = k (x - x_o ),

где k - угловой коэффициент прямой, то есть k = tg a , где a - величина угла, образованного прямой с осью Оx, M (x_o , y_o ) - некоторая точка, принадлежащая прямой.

Уравнение принимает вид y = kx + b , если M (0, b) есть точка пересечения прямой с осью Оy.

Пример. Построить прямую, заданную уравнением y = (3/4) x + 2 .

Отложим на оси Oy отрезок OB , величина которого равна 2 , проведем через точку B параллельно оси Ox отрезок, величина которого BN = 4 , и через точку N параллельно оси Oy отрезок, величина которого NM = 3 . Затем проведем прямую BM , которая и является искомой. Она имеет угловой коэффициент k = ¾ и отсекает на оси Oy отрезок величины b = 2 .

1.2.4 Нормальное уравнение прямой

Нормальное уравнение прямой имеет следующий вид:

rn^о - р = 0,

где r - радиус-вектор произвольной точки M(x, y) этой прямой,n^о - единичный вектор, ортогональный этой прямой и направленный от начала координат к прямой; р - расстояние от начала координат до прямой.

Нормальное уравнение прямой в координатной форме имеет вид:

x cos a + y sin a - р = 0,

где a - величина угла, образованного прямой с осью Оx.