Реферат: Понятие и сущность науки высшая математика

Пример. Уравнение прямой 3 x – 4 y – 5 = 0 привести к нормальному виду. Нормирующий множитель μ = -1 / √3² + 4² = - 1/5 . Умножая на него обе части данного уравнения, получим:

3/5 x – 4/5 y – 1 = 0.

1.2.5 Уравнение пучка прямых

Уравнение пучка прямых с центром в точке А(x₁ , y₁ ) имеет вид:

y-y₁ = l(x-x₁ ),

где l - параметр пучка. Если пучок задается двумя пересекающимися прямыми A₁ x + B₁ y + C₁ = 0, A₂ x + B₂ y + C₂ = 0 , то его уравнение имеет вид:

l (A₁ x + B₁ y + C₁ ) + m (A₂ x + B₂ y + C₂ )=0,

где l и m - параметры пучка, не обращающиеся в 0 одновременно.

Величина угла между прямыми y = kx + b и y = k₁ x + b₁ задается формулой:

tg j = .

Равенство 1 + k₁ k = 0 есть необходимое условие перпендикулярности прямых.

Для того, чтобы два уравнения

A₁ x + B₁ y + C₁ = 0,

A₂ x + B₂ y + C₂ = 0,

задавали одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты были пропорциональны:

A₁ /A₂ = B₁ /B₂ = C₁ /C_2.

Уравнения задают две различные параллельные прямые, если A₁ /A₂ = B₁ /B₂ и B₁ /B₂ ¹C₁ /C_{2 ;} прямые пересекаются, если A₁ /A₂ ¹ B₁ /B₂ .

Расстояние d от точки M_о (x_о , y_о ) до прямой есть длина перпендикуляра, проведенного из точки M_о к прямой. Если прямая задана нормальным уравнением, то d = êr_о n^о - р ê , где r_о - радиус-вектор точки M_о или, в координатной форме, d = êx_о cos a + y_о sin a - р ê.

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

a₁₁ x² + 2a₁₂ xy + a₂₂ y² + 2a₁ x +2a₂ y +a = 0.

Предполагается, что среди коэффициентов a₁₁ , a₁₂ , a₂₂ есть отличные от нуля.

Уравнение окружности с центром в точке С (a, b) и радиусом, равным R:

(x - a)² + (y - b)² = R² .

2 Прямая в пространстве

2.1 Уравнение прямой в пространстве

Рассмотрим произвольную прямую, обозначим ее буквой а . Обозначим через П₁ и П₂ какие-нибудь две различные плоскости, пересекающиеся по прямой а и предположим, что уравнения этих плоскостей будут: A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0 и A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0 . Так как прямая а представляет собой пересечение плоскостей П₁ и П₂ , то она определяется совместным заданием двух уравнением:

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0,

A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0.

Поставим задачу: всегда ли два уравнения первой степени совместно определяют некоторую прямую? Очевидно, это будет только в том случае, когда соответствующие им плоскости не параллельны и не совпадают друг с другом, т.е. когда нормальные векторы этих плоскостей N ₁ = { A ₁ , B ₁ , C ₁ } и N ₂ = { A ₂ , B ₂ , C ₂ } не коллинеарны. Эти два уравнения совместно определяют прямую только в том случае, когда коэффициенты A ₁ , B ₁ , C ₁ одного из них не пропорциональны коэффициентам A ₂ , B ₂ , C ₂ другого.

2.2 Геометрическое истолкование двух уравнений между координатами в пространстве

Пусть имеем два уравнения с тремя переменными

f ₁ ( x , y , z ) = 0 и f ₂ ( x , y , z ) = 0.

Каждое из них определяет некоторую поверхность. Множество точек, общих обеим поверхностям, есть некоторая линия.

Пример. Уравнения x ² + y ² = R ² и z = a , радиуса R с центром на оси Oz в точке (0; 0; a ). Заметим, что эту же линию можно задать параметрически тремя уравнениями x = R cos φ, y = R sin φ, z = a .

В общем случае параметрические уравнения линии имеют вид:

x = x ( t ), y = y ( t ), z = z ( t ).

2.3 Направляющий вектор прямой

Рассмотрим произвольную прямую. Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором данной прямой. Указанные векторы называются направляющими именно потому, что любой из них, будучи задан, определяет направление прямой.