Реферат: Понятие и сущность науки высшая математика

Пусть дана точка M ₀ ( x ₀ ; y ₀ ; z ₀ ) и ненулевой вектор s ( m ; p ; q ). Требуется составить уравнение прямой l , проходящей через точку M ₀ и параллельной вектору s (этот вектор называют направляющим вектором прямой). Для этого заметим, что точка M ( x ; y ; z ) лежит на указанной прямой тогда и только тогда, когда векторы M ₀ M ( x - x ₀ ; y - y ₀ ; z - z ₀ ) и s ( m ; p ; q ) коллинеарны, т.е. тогда, когда координаты этих векторов пропорциональны:

x – x _{0 =} y – y _{0 =} z – z _0.

^{m p q}

Данные уравнения называются каноническими уравнениями прямой l.

Пример . Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M ₀ ( -2; -3; -1) и имеющей направляющий вектор s (3; 2; 4) . Согласно равенствам имеем:

x + 2 ₌ y + 3 ₌ z + 1 .

^{3 2 4}

2.5 Параметрическое уравнения прямой в пространстве

Пусть прямая l задана каноническими уравнениями. Причем за параметр t каждое из отношений. Так как один из знаменателей отличен от нуля, а соответствующий числитель может принимать какие угодно значения, то областью изменения параметра t является вся числовая ось - ∞ < t < + ∞ . Получим:

x – x ₀ = mt , y – y ₀ = pt , z – z ₀ = qt ,

или

x = x₀ + mt, y – y₀ + pt, z = z₀ + qt.

Данные уравнения и есть искомые параметрические уравнения прямой.

Пример. Составить параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку M ₀ (2; -3; -7) и имеющей направляющий вектор s (4; -6; 5). Согласно равенствам имеем:

x = 2 + 4t, y = -3 – 6t, z = -7 + 5t .

2.6 Уравнение прямой по одной или двум точкам

Следующие две задачи имеют большое значение.

Задача 1 . Даны точка M ₀ ( x ₀ , y ₀ ) и число m . Требуется провести через M ₀ прямую, имеющую m своим угловым коэффициентом.

Решение. Будем искать уравнение нужной нам прямой в форме

y = mx + b.

Это даст для b значение

b = y₀ – mx₀ .

Подставляя это значение в уравнение, получаем уравнение искомой прямой

y = mx + y ₀ – mx ₀ .

Обычно его записывают в виде

y – y₀ = m(x – x₀ ) .

Пример. Провести через M ₀ (5, 2) прямую, перпендикулярную прямой

3 x – 2 y + 6 = 0.

Решение. Угловой коэффициент прямой равен 3/2 . Поэтому (на основании условия перпендикулярности) угловой коэффициент m искомой прямой будет m = - 2/3. Значит, требуемое уравнение такого:

y – 2 = - 2 /3 (x – 5)

или то же самое,

2 x + 3 y – 16 = 0.

Задача 2 .Провести прямую через две заданные точки M₁ (x₁ ; y₁ ) и M₂ (x₂ ; y₂ ) .

Решение. Обозначим через m (неизвестный) угловой коэффициент искомой прямой. Так как эта прямая проведена через точку M₁ (x₁ ; y₁ ) , то ее уравнение должно иметь вид

y – y₁ = m(x – x₁ ).

Для нахождения m используем то, что наша прямая проходит и через M₂ (x₂ ; y₂ ) и, стало быть, числа x₂ y₂ должны удовлетворять уравнению, т.е.

y_{2 –} y₁ = m ( x₂ – x₁ ) ,

откуда

.

Задача решена.

Если y ₁ = y ₂ , то уравнение искомой прямой имеет вид y = y ₁ . В этом случае прямая параллельна оси О x . Если x ₁ = x ₂ , то прямая, проходящая через точки M₁ и M ₂ , параллельна оси Oy , и ее уравнение имеет вид x = x ₁ .

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки M ₁ (3; 1) и M ₂ (5; 4) . Подставляя координаты точек M ₁ и M ₂ в уравнение, получаем искомое уравнение прямой:

x – 3 ₌ y - 1

^{2 3 ,}

или

3 x – 2 y – 7 = 0.

Заключение

При написании данной курсовой работы стремилось раскрыться содержание основных понятий аналитической геометрии по теме «Прямая на плоскости и в пространстве», изучились основные уравнения прямой, привелись примеры. Изложение материала по возможности полно и доступно, так как преследовалась цель сообщить основные сведения по данной теме.

Опыт показал, что для многих начинающих значительную трудность представляет решение типовых примеров и задач, поясняющих теоретический материал. Однако прежде, чем начать рассматривать пример или задачу, надо сначала изучить нужный раздел и добиться полной ясности в понимании соответствующих понятий и теорем. Поэтому в данную работу включены типовые задачи и даются методы их решения, чтобы материал лучше закрепился.