Математика / Реферат: Правильные многогранники

Реферат: Правильные многогранники

Получаем правильный двадцатигранник. Этот многогранник называется правильным икосаэдром («икосаэдр » - двадцатигранник).

Таким образом, мы получили следующую теорему.

Теорема. Существует пять различных ( с точностью до подобия) типов

правильных многогранников: правильный тетраэдр, правильный гексаэдр

(куб), правильный октаэдр, правильный додекаэдр и правильный икосаэдр.

К этому заключению можно прийти несколько иначе.

Действительно, если грань правильного многогранника – правильный треугольник, и в одной вершине сходятся k ребер, т.е. все плоский углы выпуклого k -гранного угла равны , то . Следовательно, натуральное число k может принимать значения: 3;4;5. при этом Г = , Р = . На основании теоремы Эйлера имеем: В+-= 2 или В ( 6 – k ) = 12. Тогда

при k = 3 получаем: В = 4, Г = 4 , Р = 6 (правильный тетраэдр);\

при k = 4 получаем: В = 6, Г = 8, Р = 12 (правильный октаэдр);

при k = 5 получаем: В = 12, Г = 20, Р = 30 (правильный икосаэдр).

Если грань правильного многогранника – правильный четырехугольник , то . Этому условию соответствует единственное натуральное число k = 3. Тогда: Г = , Р= ; В + - = 2 или . Значит, В = 8, Г = 6, Р = 12 – мы получаем куб (правильный гексаэдр).

Если гранью правильного многогранника является правильный пятиугольник, то . Этому условию соответствует тоже только k = 3 и Г = ; Р = . Аналогично предыдущим вычислениям получаем: и В = 20, Г = 12, Р = 30 (правильный додекаэдр).

Начиная с правильных шестиугольников, предположительно являющихся гранями правильного многогранника, плоские углы становятся не меньше , и уже k = 3 их сумма становится не менее , что невозможно. Следовательно, существует всего пять видов правильных многогранников.