Реферат: Предельное равновесие балок и рам
2. Предельное равновесие балок и рам
Приведенное вначале определение предельного состояния системы слишком общее и для достижения результата должно быть конкретизировано. Для балок и рам, материал которых следует диаграмме Прандтля, оно может быть сформулировано:
Предельное состояние балки (рамы) будет достигнуто тогда, когда в ней появится столько пластических шарниров, что система станет кинематически изменяемой.
Нагрузка, соответствующая предельному состоянию системы, называется предельной нагрузкой. Предельную нагрузку можно найти, рассматривая равновесие механизма, который образуется из системы после того, как в ней появится достаточное число пластических шарниров. Полагается, что механизм перехода в предельное состояние представляет собой абсолютно жёсткие звенья, соединённые между собой шарнирами. Таким образом, считают, что зона текучести по длине балки или стержня рамы ограничивается одним сечением – пластическим шарниром. Перемещения механизма, допустимые связями, будем рассматривать, как возможные. Тогда можно записать уравнение работ, используя принцип возможных перемещений:
Суммарная работа всех внешних и внутренних сил на любых возможных перемещениях равна нулю.
При решении задач используется кинематический экстремальный принцип (А.А. Гвоздев , 1938г.):
Истинной форме перехода в предельное состояние соответствует минимальное значение предельной нагрузки.
Следует учитывать, что кинематический способ определения предельных нагрузок всегда даёт верхнюю оценку несущей способности конструкции.
3. Примеры
Пример 1. Статически определимая балка на двух опорах загружена силой, приложенной посредине пролёта (Рис. 4). Найти предельную нагрузку для балки.
Fu
a В a
А С
В1 Mu 2a
L /2 L /2
Рис. 4
Очевидно, что для перехода балки в предельное состояние необходимо появление одного пластического шарнира. Он появится в средине пролёта, под силой. Используем принцип возможных перемещений и запишем уравнение работ: Fu ×BB1 -Mu ×2a = 0,
здесь учтено, что работа внутренних сил всегда отрицательна, т.к. они направлены в сторону противоположную перемещению. Кроме того, мы полагаем, что т. к. угол a- мал: a = 2ВВ1 / L . Тогда значение предельной силы будет равно:
Fu = 4Mu / L .
При заданном сечении, а также известном пределе текучести Mu легко вычисляется, согласно изложенному выше и, следовательно, поставленная задача решена.
Пример 2. Двухпролётая, один раз статически неопределимая балка загружена в левом пролёте сосредоточенной силой (Рис. 5). Найти предельное значение силы.
F
L 2 L 2 L
Fu Mu
AaBbC
Mu B1 a+b
Схема перехода в предельное состояние
Рис. 5
Предельное состояние будет достигнуто в том случае, если появятся два пластических шарнира – один под силой, другой на опоре С. Уравнение работ запишется:
Fu × BB1 - Mu (a+b)- Mu ×b = 0, где: a= BB1 / L ; b= BB1 / 2L ;
тогда: Fu =2,5Mu / L.