Реферат: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений
Пример. Решить уравнение 
методом половинного деления с точностью до 0,001.
Решение. Известен отрезок изоляции корня 
и заданная точность 
. По уравнению составим функцию 
.
Найдём значения функции на концах отрезка: 
, 
.
Проверим выполнение неравенства (1): 
- условие выполняется, значит можно применить метод половинного деления.
Найдём середину отрезка 
и вычислим значение функции в полученной точке:
, 
.
Среди значений 
и 
выберем два значения разных знаков, но близких друг к другу. Это 
и 
. Следовательно, из отрезков 
и 
выбираем тот, на концах которого значения функции разных знаков. В нашем случае это отрезок 
и опять находим середину отрезка и вычисляем значение функции в этой точке:
, 
, 
, 
- заданная точность результата не достигнута, продолжим вычисления.
, 
, 
, 
.
, 
, 
, 
.
, 
, 
, 
.
, 
, 
, 
.
, 
, 
, 
.
, 
, 
, 
.
, 
, 
, 
.
, 
, 
, 
.
, 
- заданная точность результата достигнута, значит, нашли приближённое значение корня 
.
Ответ: корень уравнения 
с точностью до 0,001.
5. Метод хорд (секущих).
Этот метод применяется при решении уравнений вида 
, если корень уравнения отделён, т.е. 
и выполняются условия:
1) 
(функция 
принимает значения разных знаков на концах отрезка 
);
2) производная 
сохраняет знак на отрезке 
(функция либо возрастает, либо убывает на отрезке ).
Первое приближение корня находится по формуле: 
.
Для следующего приближения из отрезков 
и 
выбирается тот, на концах которого функция имеет значения разных знаков.
Тогда второе приближение вычисляется по формуле:
, если 
или 
, если 
.
Вычисления продолжаются до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые нужно оставить в ответе.
6. Метод касательных (Ньютона).
Этот метод применяется, если уравнение имеет корень 
, и выполняются условия:
1) 
(функция принимает значения разных знаков на концах отрезка );