Реферат: Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений
На отрезке выбирается такое число
, при котором
имеет тот же знак, что и
, т. е. выполняется условие
. Таким образом, выбирается точка с абсциссой
, в которой касательная к кривой
на отрезке
пересекает ось
. За точку
сначала удобно выбирать один из концов отрезка.
Первое приближение корня определяется по формуле: .
Второе приближение корня определяется по формуле: .
Вычисления ведутся до совпадения десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или при заданной точности - до выполнения неравенства
.
Достоинства метода: простота, быстрота сходимости.
Недостатки метода: вычисление производной и трудность выбора начального положения.
7. Комбинированный метод хорд и касательных.
Если выполняются условия:
1) ,
2) и
сохраняют знак на отрезке
,
то приближения корня уравнения
по методу хорд и по методу касательных подходят к значению этого корня с противоположных сторон. Поэтому для быстроты нахождения корня удобно применять оба метода одновременно. Т.к. один метод даёт значение корня с недостатком, а другой – с избытком, то достаточно легко получить заданную степень точности корня.
Схема решения уравнения методом хорд и касательных
1. Вычислить значения функции и
.
2. Проверить выполнение условия . Если условие не выполняется, то неправильно выбран отрезок
.
3. Найти производные и
.
4. Проверить постоянство знака производных на отрезке . Если нет постоянства знака, то неверно выбран отрезок
.
5. Для метода касательных выбирается за тот из концов отрезка
, в котором выполняется условие
, т.е.
и
одного знака.
6. Приближения корней находятся:
а) по методу касательных: ,
б) по методу хорд: .
7. Вычисляется первое приближение корня: .
8. Проверяется выполнение условия: , где
- заданная точность.
Если условие не выполняется, то нужно продолжить применение метода по схеме 1-8.
В этом случае отрезок изоляции корня сужается и имеет вид . Приближённые значения корня находятся по формулам:
и
.
Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет найдено такое значение , при котором
и
совпадут с точностью
.
Пример. Решить уравнение
методом хорд и касательных с точностью 0,001, если известно, что корень уравнения
.
Решение.
1. Вычислим значения функции на концах отрезка:
,
.
2. Проверим выполнение условия: - условие выполняется.
3. Найдём производные: и
.
4. На отрезке производные
и
, т.е. сохраняют знак, следовательно, условие выполняется.