Реферат: Приложения производной

6.3 .Правило нахождения экстремума

1° . Чтобы найти экстремум функции, надо:

1) найти производную данной функции;

2) приравнять производную нулю и решить полученное уравнение; из полученных корней отобрать действительные и расположить их (для удобства) по их величине от меньшего к большему; в том случае, когда все корни оказываются мнимыми, данная функция не имеет экстремума;

3) определить знак производной в каждом из промежутков, отграниченных стационарными точками ( стационарными точками называют точки в которых производная равна 0);

4) если производная положительна в промежутке, лежащем слева от данной стационарной точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа от нес, то данная точка есть точка максимума функции, если же производная отрицательна слева и положительна справа от данной стационарной точки, то данная точка есть точка минимума функции; если производная имеет один и тот же знак как слева, так и справа от стационарной тонки, то в этой точке нет ни максимума, ни минимума, функции;

5) заменить в данном выражении функции аргумент значением, которое дает максимум или минимум функции; получим значение соответственно максимума или минимума функции.

Если функция имеет точки разрыва, то эти точки должны быть включены в число стационарных точек, разбивающих Ох на промежутки, в которых определяется знак производной.

Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x₀ обращена выпуклостью вверх, если существует такая окрестность точки x₀ , что часть кривой, соответствующая этой окрестности, лежит под касательной к этой кривой, проведенной в точке A с абсциссой x₀ . (см. Рисунок 1а ).

б а Рисунок 1

Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x₀ обращена выпуклостью вниз, если существует такая окрестность точки x₀ , что часть кривой, соответствующая этой окрестности, лежит над касательной к этой кривой, проведенной в точке A с абсциссой x₀ . (см. Рисунок 1б ).
Из определения выпуклости вверх (вниз) кривой y = f(x) в точке x₀ следует, что для любой точки x из интервала (x₀ - h, x₀ + h) , не совпадающей с точкой x₀ , имеет место неравенство f(x) - y < 0 ( f(x) - y > 0) где f(x) - ордината точки M кривой y = f(x) , y - ордината точки N касательной y - y₀ = f '(x₀ )(x - x₀ ) к данной кривой в точке A . (смотри рисунок 1, а, б ).
Ясно, что и наоборот, если для любой точки x интервала (x₀ - h, x₀ + h) , не совпадающей с x₀ , выполняется неравенство f(x) - y < 0 (f(x) - y > 0) ,

то кривая y = f(x) в точке x₀ обращена выпуклостью вверх (вниз).
Будем называть кривую y = f(x) выпуклой вверх (вниз) в интервале (a, b) , если она выпукла вверх (вниз) в каждой точке этого интервала.
Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх в интервале (a, b) , то с увеличением аргумента x угловой коэффициент касательной к этой кривой в точке с абсциссой x будет уменьшаться.

Рисунок 2.

В самом деле, пусть абсцисса x₁ точки A меньше абсциссы x₂ точки B (рис. 2). Проведем касательные t₁ и t₂ соответствено в точках A и B к кривой y = f(x) . Пусть a и j - углы наклона касательных t₁ и t₂ . Тогда из рис. 2 видим, что j - внешний угол треугольника ECD , а поэтому он больше угла a. Следовательно tg j > tg a или f '(x₁ ) > f '(x₂ ) .
Таким образом мы показали, что если в интервале (a, b) кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх, то с увеличением аргумента x функция y = f '(x) убывает. Поэтому вторая производная f ''(x) функции f(x) , как производная убывающей фунции f '(x) , будет отрицательна или равна нулю в интервале (a, b) : f ''(x) £0 .

Рисунок 3.

Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вниз, то из рис.2 непосредственно видно, что tg a > tg j т.е. f '(x₂ ) > f '(x₁ ) , а поэтому в интервале (a, b) производная f '(x) возрастает. Тогда вторая производная f ''(x) функции f (x) , как производная возрастающей в интервале (a, b) функции f '(x) , будет положительна или равна нулю: f ''(x) ³0 .
Докажем, что и наоборот, если f ''(x) £0 в некотором интервале (a, b) , то в этом интервале кривая y = f (x) обращена выпуклостью вверх; если f ''(x) ³0 в интервале (a, b) , то в этом интервале кривая обращена выпуклостью вниз.
Запишем уравнение касательной y - y₀ = f '(x₀ )(x - x₀ ) к кривой y = f (x) в точке x₀ , где a < x₀ b , в виде y = y₀ + f '(x₀ )(x - x₀ ). Очевидно, y₀ = f(x₀ ) , а потому последнее уравнение можно записать в виде y = f(x₀ ) + f '(x₀ )(x - x₀ ) . (1)

Но, согласно формуле Тейлора, при n = 2 имеем:

(2)

Фиксируя x в интервале (a, b) и вычитая почленно из уравнения (2) уравнение (1), получим: (3)

Если f '' [x₀ + Q(x - x₀ ) ]£0 , где 0 < Q < 1 , то имеем f(x) - y £ 0

откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вверх.
Если f '' [x₀ + Q(x - x₀ ) ]³0 , то имеем f(x) - y ³ 0 откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вниз.
Так как была зафиксирована произвольная точка x интервала (a, b) , то высказанное выше утверждение доказано.

Рисунок 4.

Точка кривой, в которой кривая меняет направление изгиба, т.е. переходит от выпуклости вверх к выпуклости вниз или наоборот, называется точкой перегиба кривой (рис.4). (В этом определении предполагается, что в точке перехода кривой от выпуклости вверх к выпуклости вниз (или наоборот) имеется единственная касательная).
Теорема 8. Пусть функция f(x) имеет непрерывную вторую производную f ''(x) и пусть A [x₀ ; f(x₀ ) ] - точка перегиба кривой y = f(x) . Тогда f ''(x₀ ) = 0 или не существует.
Доказательство. Рассмотрим для определенности случай, когда кривая y = f(x) в точке перегиба A [x₀ ; f(x₀ ) ] переходит от выпуклости вверх в выпуклости вниз (рис.4). Тогда при достаточно малом h в интервале (x₀ - h, x₀ ) вторая производная f ''(x) будет меньше нуля, а в инетрвале (x₀ , x₀ +h) - больше нуля.
Но f ''(x) - функция непрерывная, а потому, переходя от отрицательных значений к положительным, она при x = x₀ обращается в нуль: f ''(x₀ ) = 0 .

Рисунок 5.

На рис.5 изображен график функции . Хотя при x₀ = 0 имеется касательная и точка перегиба, все же вторая производная f ''(x) не равна нулю, она даже не существует в этой точке. В самом деле, имеем

Итак, f ''(0) не существует. Но тем не менее точка O(0; 0) является точкой перегиба, так как при x < 0 f ''(x) > 0 и кривая выпукла вниз, а при x > 0 f ''(x) < 0 и кривая выпукла вверх.
Таким образом в случае непрерывности второй производной f ''(x) обращение в нуль или несуществование ее в какой-нибудь точки кривой y = f(x) является необходимым условием существования точки перегиба. Однако это условие не является достаточным.

Теорема 9. Если вторая производная f ''(x) непрерывна и меняет знак при x = x₀ , то точка A [x₀ ; f(x₀ ) ] является точкой перегиба кривой y = f(x) при условии, конечно, что в точке A существует касательная .
Доказательство. Пусть например f ''(x) < 0 при x₀ - h < x < x₀ и f ''(x) > 0 при x₀ < x < x₀ + h . Тогда в интервале (x₀ - h; x₀ ) кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх, а в интервале (x₀ ; x₀ + h) - выпклостью вниз (смотри рис.4), т.е. точка A [x₀ ; f(x₀ ) ] есть точка перегиба кривой, что и требовалось доказать.

6.5.Общая схема исследования функции и построение ее графика.

1. Находим область определения функции f(x)
2. Находим точки пересечения кривой y = f(x) с осями координат и наносим их на чертеж.
3. Определяем, симметрична ли кривая y = f(x) относительно осей координат и начала координат.
4. Исследуем функцию y = f(x) на непрерывность. Если функция имеет в точке x₀ разрыв, то отмечаем ее на чертеже.
5. Находим асимптоты кривой, если они имеются.
6. Находим максимум и минимум функции и отмечаем на чертеже точки кривой с максимальной и минимальной ординатами.
7. Исследуем кривую y = f(x) на выпуклость вверх или вниз, находим точки перегиба кривой и отмечаем их на чертеже.
8. Вычерчиваем кривую y = f(x) .

6.6. Касательная и нормаль к плоской кривой.

Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x₁ ; y₁ ) на ней. Требуется составить уравнения касательной и нормали (смотри р