Реферат: Применение алгоритмов теории игр в экономических системах
Игры с нулевой суммой - общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками. В игре с нулевой суммой и двумя участниками выигрыш одного из них равен проигрышу другого. Таким образом, в играх с нулевой суммой существует конфликт между игроками, и поэтому их называют также антагонистическими играми. Они отражают суть принципа: «мой проигрыш - ваш выигрыш мой выигрыш - ваш проигрыш» и представляют собой ситуации чистого конфликта без всяких элементов сотрудничества. Примерами таких игр может служить покер, где один выигрывает все ставки других; либо банальное воровство .
Игры с постоянной разностью , в которых игроки и выигрывают, и проигрывают одновременно, так что им выгодно действовать сообща. Игрой с отличной от нуля суммой является торговля , где каждый участник извлекает выгоду. Сюда также относятся го, шашки и шахматы; в двух последних игрок может превратить свою рядовую фигуру в более сильную, получив преимущество. Во всех этих случаях сумма игры увеличивается. Широко известным примером, где она уменьшается, является война .
По виду функций выигрыша игры делятся на: матричные, биматричные.
Матричная игра – это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задаётся выигрыш игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 1, столбец – номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям).
Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение и оно может быть легко найдено путём сведения игры к задаче линейного программирования.
Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец – стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице – выигрыш игрока 2.) [12].
Также существуют следующие типы игр:
· Симметричные и несимметричные
Игра будет симметричной тогда, когда соответствующие стратегии у игроков будут равны, то есть иметь одинаковые платежи. Иначе говоря, если игроки могут поменяться местами и при этом их выигрыши за одни и те же ходы не изменятся. Многие изучаемые игры для двух игроков — симметричные. В частности, таковой является: «Дилемма заключённого». В качестве несимметричных игр можно привести «Ультиматум».
· Параллельные и последовательные
В параллельных играх игроки ходят одновременно, или, по крайней мере, они не осведомлены о выборе других до тех пор, пока все не сделают свой ход. В последовательных, или динамических , играх участники могут делать ходы в заранее установленном либо случайном порядке, но при этом они получают некоторую информацию о предшествующих действиях других. Эта информация может быть даже не совсем полной , например, игрок может узнать, что его противник из десяти своих стратегий точно не выбрал пятую, ничего не узнав о других.
· С полной или неполной информацией
Важное подмножество последовательных игр составляют игры с полной информацией. В такой игре участники знают все ходы, сделанные до текущего момента, равно как и возможные стратегии противников, что позволяет им в некоторой степени предсказать последующее развитие игры. Полная информация не доступна в параллельных играх, так как в них неизвестны текущие ходы противников. Большинство изучаемых в математике игр — с неполной информацией. Например, вся «соль» «Дилеммы заключённого» или «Сравнения монеток » заключается в их неполноте.
В то же время есть интересные примеры игр с полной информацией: «Ультиматум», «Многоножка». Сюда же относятся шахматы, шашки и другие.
Часто понятие полной информации путают с похожим — совершенной информации . Для последнего достаточно лишь знание всех доступных противникам стратегий, знание всех их ходов необязательно [13].
1.4 Представление игр
Представить игру можно двумя следующими способами:
Первый способ предполагает следующее:
1) перечисление ходов, которые могут делать игроки;
2) определение информации, которой располагают игроки в процессе игры;
3) определение возможных вариантов действий игроков;
Игра «Ультиматум» в экстенсивной форме.
Игры в экстенсивной, или расширенной, форме представляются в виде ориентированного дерева, где каждая вершина соответствует ситуации выбора игроком своей стратегии. Каждому игроку сопоставлен целый уровень вершин. Платежи записываются внизу дерева, под каждой листовой вершиной .
На рисунке 1. 1 — игра для двух игроков. Игрок 1 ходит первым и выбирает стратегию F или U. Игрок 2 анализирует свою позицию и решает — выбрать стратегию A или R. Скорее всего первый игрок выберет U, а второй — A (для каждого из них это оптимальные стратегии ); тогда они получат соответственно 8 и 2 очка.
Экстенсивная форма очень наглядна, с её помощью особенно удобно представлять игры с более чем двумя игроками и игры с последовательными ходами. Если же участники делают одновременные ходы, то соответствующие вершины либо соединяются пунктиром, либо обводятся сплошной линией.
Рисунок 1.1 - Представление игр в экстенсивной форме
4) указание предельных размеров платежей в конце игры.
Игру, описанную подобным образом, называют игрой в развернутой, или экстенсивной форме, а само описание, как правило, составляют в виде дерева игры, аналогичного дереву решений. Игры в развернутой форме называют также позиционными играми.
Игру в развернутой форме называют игрой с полной информацией, если в ней нельзя делать одновременно несколько ходов и если участникам известны выборы, сделанные при предшествующих ходах, включая и случайные ходы. Примером игры с полной информацией являются шахматы. Покер представляет собой игру с неполной информацией, так как игрокам неизвестно, какие карты находятся на руках у противника [12].
Второй способ описания игры состоит в том, что рассматриваются все возможные стратегии каждого игрока и определяются платежи, соответствующие любой возможной комбинации стратегий всех игроков. Описанная таким образом игра называется игрой в нормальной форме .
Нормальная форма игры двух участников состоит из платежной матрицы , показывающей, какую сумму получает каждый из игроков при любой из возможных стратегий (см. рисунок 1.2).