Реферат: Применение обобщенного метода Фурье в задаче полого волновода треугольного сечения

Решениеприкладныхзадачраспространенияэлектромагнитныхволнзачастуюсопряженоспроблемойпоискааналитическихрешенийкраевыхзадачматематическойфизики. Сэтойточкизрения, применениеметодаразделенияпеременныходинизвозможныхпутейэтогопоиска. ХорошоизученныйклассическийметодФурьепозволяетразделитьпеременныевдифференциальныхуравненияхвчастныхпроизводныхприменительнокграничнымусловиямпростейшеговида. Треугольнаяграницанаправляющейструктуры, рассмотреннойвстатье, неотвечаетвозможностямразделенияпеременныхвклассическомпредставлении. ВстатьерассмотреноприменениеобобщенногометодаФурьеразделенияпеременных, какодногоизспособоврасширениякругааналитическирешаемыхзадачприкладнойэлектродинамики. НапримереопределениясемействаЕ-волнволноводатреугольногосеченияпоказанопреимуществопередклассическимметодомразделенияпеременныхприрешениикраевойзадачидлядвухмерногоуравненияГельмгольца.

НагляднымпримеромреализациипреимуществобобщенногометодаФурье (ОМФ) [1] передклассическимприрешенииприкладныхзадачэлектродинамикиявляетсязадачапологоволноводатреугольногосечения (рис.1), оболочкакоторогопринимаетсязаидеальнопроводящую, авнутренняясредаявляетсяоднородной. Такаямодельвбольшинствеслучаевоказываетсяудовлетворительнойдляпрактическихрасчетов. Принеобходимостионауточняетсяпутемучетапотерьвметалле.

рис.1

Поиск векторов электромагнитного поля обычно замыкается на рассмотрение уравнения Гельмгольца, которому должны удовлетворять компоненты этих векторов:

(1)

Пространственная задача о распространении волн в подобной продольно-однородной структуре сводима к решению двумерного уравнения Гельмгольца путем классического отделения переменной z, т.е. представления искомой функции в виде:

(2)

Уравнение для при этом принимает вид:

(3)

Здесь неизвестна не только функция, но и параметр l, имеющий смысл поперечного волнового числа. Само по себе уравнение (3) не имеет определенных решений с физической точки зрения. Необходимо поставить краевую (граничную) задачу. Известно, например из [2], что для определения семейства Е-волн той или иной направляющей структуры с однородной средой и при идеализации проводящих границ надо найти решения краевой задачи, содержащей, помимо уравнения (3), условие:

на L, (4)

где под L понимается идеально проводящий контур поперечного сечения полого волновода или совокупность контуров в более сложных случаях. В нашем примере, как видно из рисунка, в качестве L выступает прямоугольный равнобедренный треугольник. Применяя для решения этой краевой задачи классический метод Фурье, т.е. представляя искомую функцию в виде:

(5)

можем получить следующее общее решение для рассматриваемого уравнения:

(6)

Неопределенные константы, содержащиеся в данном решении, должны быть определены из граничных условий, но получаемая при этом система уравнений не имеет нетривиальных решений. Следовательно, решение (6) не удовлетворяет поставленной краевой задаче. Можно пойти по пути расчленения замкнутого контура на отрезки, что безусловно вызовет увеличение количества краевых задач, требующих решения. Этого можно избежать, используя ОМФ.

Представляя искомую функцию в виде:

(7)

уравнение (3) приводится билинейному виду:

(8)

На следующем этапе применения ОМФ необходимо построить матрицу функций билинейного уравнения, которая в нашем случае выглядит следующим образом:

(9)

Следуя теории реализации ОМФ [1], используя эту матрицу, можно построить следующие системы разделенных уравнений:

(10)

(11)

(12)

Приведенные системы отличаются функциями, входящими в их базис, и их количеством. Анализ этих систем указывает, что только система (11) может иметь решения, удовлетворяющие требованию линейной независимости искомых функций по каждой переменной. Решение системы (11) при условии имеет следующий вид:

(13)

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--