Реферат: Призма и параллелепипед

Рис. 5

Поскольку все грани параллелепипеда – параллелограммы, то прямая AD параллельна прямой ВС, а прямая параллельна прямой . Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны.

Из того, что грани параллелепипеда – параллелограммы, следует, что АВ, , CD и параллельны и равны. Отсюда сделаем вывод, что грань совмещается параллельным переносом вдоль ребра АВ с гранью . Следовательно, эти грани равны.

2 ) Возьмем две диагонали параллелепипеда (рис. 5), например, и , и проведем дополнительные прямые и . АВ и соответственно равны и параллельны ребру DC, поэтому они равны и параллельны между собою; вследствии этого фигура есть параллелограмм, в котором прямые и – диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам. Аналогично мы можем доказать, что две другие диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Точка пересечения каждой пары диагоналей лежит в середине диагонали . Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке О и делятся этой точкой пополам. Таким образом, точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии. [3, 21]

Теорема:

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Доказательство:

Это выплывает из пространственной теоремы Пифагора. Если – диагональ прямоугольного параллелепипеда , то – ее проекции на три попарно перпендикулярные прямые (рис. 6). Следовательно, . [2, 116]

Рис. 6

Замечание: в прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.

Дополнительные соотношения между элементами призмы

Если в наклонной призме боковое ребро образует одинаковые углы со сторонами основания, которые выходят из вершины , то основание О высоты лежит на биссектрисе угла (рис. 7).

Доказательство:

Рис. 7

Проведем и отрезки Согласно теореме о трех перпендикулярах, имеем и . Прямоугольные треугольники и равны, поскольку имеют общую гипотенузу и одинаковые углы ( по условию). Следовательно, и , отсюда Таким образом, точка О равноудалена от сторон угла и, следовательно, лежит на биссектрисе угла . [3, 24]

Задачи

1. Ребро куба равно а.

Найдите:

Диагональ грани: d= a√2.

Диагональ куба: D= a√3.

Периметр основания: P= 4a.

2 . Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, в котором высота проведенная к основанию равняется 8см. Высота призмы равняется 12см. Найдите полною поверхность призмы если боковая грань что содержит основание треугольника - квадрат.

Решение

Площадь поверхности призмы будет равна сумме площадей оснований и сумме площадей боковых поверхностей, то есть , где - площадь основания призмы, - площадь боковой поверхности, содержащей основание, - площадь боковой поверхности, содержащей стороны равнобедренного треугольника. (Они равны, так как стороны основания равны в следствие того, что треугольник равнобедренный, а вторые стороны равны высоте призмы)

Поскольку боковая грань, содержащая основание треугольника, является квадратом, то основание треугольника также равно 12 см. (основание треугольника одновременно является стороной грани).

Таким образом, зная высоту и основание равнобедренного треугольника можно найти его остальные стороны и площадь:

Катеты, соответственно равны (у нас высота, являющаяся в равнобедренном треугольнике одновременно и медианой , с каждым из катетов образует прямоугольный треугольник) по теореме Пифагора:

Таким образом: