Реферат: Программирование различных типов задач

Если a = , b = , где ai, bi >= 0, то, очевидно, что НОД(a, b) = и НОК(a, b) = . Отсюда, учитывая, что max{x,y}+min{x,y} = x+y, получаем ab = НОД(a, b)НОК(a, b).

Найдем НОД(a, b). Верны следующие равенства:

1) НОД(a, b) = НОД(b, a) – следует из определения.

2) НОД(a, 0) = a – очевидно.

3) НОД(a, b) = НОД(a mod b, b).

Доказательство. Докажем сначала, что НОД(a, b) = НОД(a-b, b). Пусть c – общий делитель a и b. Тогда a = kc, b = lc, a-b = (k-l)c, поэтому с – общий делитель a-b и b. Аналогично показывается, что если c – общий делитель (a-b) и b, то с – общий делитель a и b. Поэтому множества общих делителей пар (a, b) и (a-b, b) совпадают. А значит НОД(a,b) = НОД(a-b, b). Применяя эту формулу a div b раз, получим требуемое.

Для нахождения НОД можно использовать следующий алгоритм Евклида:

While (a<>0) and (b<>0) do

If a>b then a:= a mod b

else b:= b mod a;

nod:= a+b;

Корректность этого алгоритма следует из вышеуказанных свойств НОДа.

Справедливо следующее утверждение: существует целые числа u и v такие, что au+bv = НОД(a, b).

Доказательство. Находя НОД по алгоритму Евклида, мы, по сути дела, записали следующие равенства: a = q1b+r1, b = q2r1+r2, …, rn = qn+2rn+1+rn+2, rn+1 = qn+3rn+2. Причем НОД(a, b) = rn+2. Развернем эту цепочку равенств в другую сторону: НОД(a, b) = rn+2 = rn-qn+2rn+1 = rn-qn+2(rn-1-qn+1rn) = -qn+2rn-1+(1+qn+2qn+1)rn = krn-1+lrn = … = Ab+Br1 = Ab + B(a-q1b) = Ba + (A-Bq1)b = au + bv, что и требовалось доказать.

Из этого доказательства следует алгоритм нахождения u и v по a и b.

И в заключении рассмотрим задачу, предлагавшуюся на одной из олимпиад прошлых лет.

Красивые числа

Имя входного файла:	numbers.in
Имя выходного файла:	numbers.out
Максимальное время работы на одном тесте:	1 секунда
Максимальный объем используемой памяти:	64 мегабайта

Саша считает красивыми числа, десятичная запись которых не содержит других цифр, кроме 0 и k (1 ≤ k ≤ 9). Например, если k = 2, то такими числами будут 2, 20, 22, 2002 и т.п. Остальные числа Саше не нравятся, поэтому он представляет их в виде суммы красивых чисел. Например, если k = 3, то число 69 можно представить так: 69 = 33 + 30 + 3 + 3.

Однако, не любое натуральное число можно разложить в сумму красивых целых чисел. Например, при k = 5 число 6 нельзя представить в таком виде. Но если использовать красивые десятичные дроби, то это можно сделать: 6 = 5.5 + 0.5.

Недавно Саша изучил периодические десятичные дроби и начал использовать и их в качестве слагаемых. Например, если k = 3, то число 43 можно разложить так: 43 = 33.(3) + 3.(3) + 3 + 3.(3).

Оказывается, любое натуральное число можно представить в виде суммы положительных красивых чисел. Но такое разложение не единственно — например, число 69 можно также представить и как 69 = 33 + 33 + 3. Сашу заинтересовало, какое минимальное количество слагаемых требуется для представления числа n в виде суммы красивых чисел.

Требуется написать программу, которая для заданных чисел n и k находит разложение числа n в сумму положительных красивых чисел с минимальным количеством слагаемых.

Формат входных данных

Во входном файле записаны два натуральных числа n и k (1 ≤ n ≤ 10⁹ ; 1≤ k ≤ 9).

Формат выходных данных

В выходной файл выведите разложение числа n в сумму положительных чисел, содержащих только цифры 0 и k , количество слагаемых в котором минимально. Разложение должно быть представлено в виде:

n=a₁ +a₂ +...+a_m

Слагаемые a ₁ , a ₂ , ..., a_m должны быть выведены без ведущих нулей, без лишних нулей в конце дробной части. Запись каждого слагаемого должна быть такой, что длины периода и предпериода дробной части имеют минимально возможную длину. Например, неправильно выведены числа: 07.7; 2.20; 55.5(5); 0.(66); 7.(0); 7. ; .5; 0.33(03). Их следует выводить так: 7.7; 2.2; 55.(5); 0.(6); 7; 7; 0.5; 0.3(30).

Предпериод и период каждого из выведенных чисел должны состоять не более чем из 100 цифр. Гарантируется, что хотя бы одно такое решение существует. Если искомых решений несколько, выведите любое. Порядок слагаемых может быть произвольным.

Выходной файл не должен содержать пробелов.