Реферат: Производная и ее применение в экономической теории

где TR=p*Q; TC=TFC+TVC.

Найдём цену единицы продукции:

20p=100 – Q p=5 – Q/20.

Тогда

П=(5 – Q/20)Q – (50 + 2Q)= – Q² + 60Q - 1000 ® max

Найдём производную: П'(Q)= –2Q+60.

Приравняем производную к нулю: –2Q+60=0 Q=30.

При переходе через точку Q=30 функция П(Q) меняет свой знак с плюcа на минус, следовательно, эта точка является точкой максимума, и в ней функция прибыли достигает своего максимального значения. Таким образом, объём выпуска, максимизирующий прибыль, равен 30 единицам продукции.

Задача №2: Объём спроса на продукцию предприятия выражается формулой: Q_D =200 – 4p , а объём предложения – Q_S =6p – 100 . Величина переменных издержек на единицу продукции TVC=25 . Чему должна быть равна цена на единицу продукции p , чтобы прибыль П была максимальной?

Решение: В точке потребительского равновесия Q_S =Q_D , то есть

6p₀ – 100=200 – 4p₀ ,

откуда p₀ = 30 (ден.ед.) – равновесная цена, ÞQ₀ =80 (ед.) – равновесный объём продукции.

Изобразим графически кривые спроса и предложения, а также точку потребительского равновесия, находящуюся на их пересечении (см. рис. 2).

Рассмотрим три возможных варианта:

1) p>p₀ , ÞQ=Q_D , то есть П=Q_D p – Q_D TVC=Q_D (p – TVC) ,

подставим значения и получим:

П=(200 – 4p)*(p – 25)= –4p² + 300p – 5000.

2) p=p₀ , ÞQ=Q_D =Q_S , Þ Q_{продажи} =Q₀ =80 (ед.), Þ

П₂ =80*(30 – 25)=400 (ден. ед.).

3) p<p₀ : ÞQ= Q_S , то есть П=Q_S p – Q_S TVC=Q_S (p – TVC) ,

подставим значения:

П=(6p – 100)(p – 25)=6p² – 250p + 2500.

Далее случаи (1) и (3) можно решать аналитически, подставляя различные значения цены из интервала её значений или как-либо иначе, но гораздо проще выявить экстремумы прибыли через производную:

1) П= – 4p² + 300p – 5000

П'= – 8p + 300;

– 8p + 300=0 Þ p=75/2=37,5 (ден. ед.).

Значит, Q=Q_D =200 – 4*37,5=200 – 150=50 (ед.), а

П₁ = – 4p² + 300p – 5000= – 4*(37,5)² +300*37,5 – 5000=625 (ден. ед.) .

2) Во втором случае прибыль была уже найдена: П₂ =400 (ден. ед.).