Реферат: Производная и ее применение в экономической теории
П'=12p – 250;
12p – 250=0 Þ p=125/6=205 /6 (ден. ед.).
Значит, Q=QS =6*205 /6 – 100=125 – 100=25 (ед.), a
П3 =6p2 – 250p + 2500=6*(205 /6 )2 – 250*205 /6 +2500= – 1041 /6 (ден. ед.).
Можно заключить, что прибыль максимальна в первом случае, следовательно, цена единицы продукции должна равняться 37,5 денежным единицам.
Задача №3: Какова максимальная выручка монополиста, если спрос вплоть до пересечения с осями описывается линейной функцией Q=b – ap , где p - цена товара, выпускаемого монополистом; a и b – коэффициенты функции спроса?
Решение: Выручка TR=Qp=p(b – ap) достигнет максимума при равенстве нулю производной по цене:
TR'=(p(b – ap))'=0.
TR'=p'*(b – ap)+ (b – ap)'*p=b – ap – ap=b – 2ap=0 Þp=
Þ
ÞQ=b – ap=b - a=
.
При этом максимум выручки составит
Задача №4: Найти оптимальный объёмпроизводства фирмы, функция прибыли которой задана таким образом: П(q)=TR(q) – TC(q)=q2 – 8q + 10.
Решение: Найдём производную данной функции:
П
Приравняем производную к нулю и найдём точку экстремума:
П
Является ли объём выпуска, равный четырём единицам продукции, оптимальным для фирмы? Чтобы ответить на этот вопрос, надо проанализировать характер изменения знака производной при переходе через точку экстремума.
При 
П
и прибыль убывает.
При 
П
и прибыль возрастает.
Как видим, при переходе через точку экстремума производная меняет свой знак с минуса на плюс. Следовательно, в точке экстремума 
прибыль принимает минимальное значение, и таким образом, этот объём производства не является оптимальным для фирмы.
Каким же всё-таки будет оптимальный объём выпуска для данной фирмы? Ответ на этот вопрос зависит от дополнительного исследования производственных возможностей фирмы. Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (П(q=8)=П(q=0)=10 ), то оптимальным решением для фирмы будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и/или оборудования. Если же фирма способна производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции, то оптимальным решением для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных возможностей.
Задача №5: Найти объём производства, при котором фирма, действующая на рынке совершенной конкуренции, будет получать максимальную прибыль, если p=15, TC(q)=q3 + 3q .
Решение: Прибыль фирмы, действующей на рынке совершенной конкуренции, максимизируется при равенстве предельной выручки и предельных издержек: MR=MC. Поскольку при совершенной конкуренции наблюдается равенство цены и предельной выручки: P=MR , то можно утверждать, что фирма максимизирует прибыль при P=MC.
Найдём предельные издержки: MC=TC'=3q2 + 3.
3q2 + 3=15;
3q2 =12 Þq=2.
Итак, мы выяснили, что при цене p=15 фирма предложит на продажу 2 единицы продукции.
Задача №6: Пусть 
– издержки фирмы-монополиста, QD (p)=40 – 2p – функция спроса. Найти оптимальный для данной монополии объём производства и соответствующую цену единицы продукции.