Реферат: Рациональные методики поиска оптимальных путей сетевых графиков и их автоматизация на ЭВМ

Начнём с доказательства методики поиска критического пути сетевого гра­фика. Для этого рассмотрим ряд вспомогательных теорем.

Теорема 3.1 – Для того, чтобы некоторый путь сетевого графика был бы кри­тическим, необходимо и достаточно, чтобы полные резервы времени всех вхо­дя­щих в него работ были бы равны нулю.

Необходимость – Если некоторый путь является критическим, то полные резервы времени всех входящих в него работ равны нулю.

Докажем это утверждение методом от противного.

Пусть известно, что некоторый рассматриваемый путь заведомо критиче­ский. Теперь предположим противное – на нём лежит хотя бы одна работа с нену­левым резервом времени. Это означает, что есть другой путь, с большей продол­жительностью, чем рассматриваемый, за счёт чего и получается данный резерв времени. Но, раз имеется более продолжительный путь, то рассматриваемый путь уже не может быть критическим. Полученное противоречие доказывает невоз­можность существования на критическом пути работы с ненулевым полным ре­зервом времени, так как в противном случае, он уже не будет являться критиче­ским. Тогда, для любой работы критического пути остаётся другая возможная си­туация – её полный резерв времени равен нулю. Утверждение доказано.

Поскольку любой сетевой график имеет критический путь, то есть путь с наибольшей продолжительностью, то, на основании только что доказанного, в лю­бом сетевом графике можно найти путь, работы которого имеют только нулевые полные резервы времени.

Достаточность – Если все работы некоторого пути имеют нулевые полные резервы времени, то этот путь обязательно является критическим.

Если некоторый путь имеет работы только с нулевыми полными резервами времени, то это означает, что ни одну работу, указанного пути, нельзя увеличить по длительности без изменения срока свершения завершающего события сетевого графика. Это возможно, только когда сумма длительностей работ, рассматривае­мого пути равна сроку свершения завершающего события, то есть длительности критического пути. Тогда, рассматриваемый путь и является критическим, в силу того, что он равен критическому пути по длительности. Утверждение доказано.

Теорема 3.2 – Если в некоторое событие сетевого графика входит работа с ну­левым полным резервом времени, то среди всех исходящих из данного события работ, обязательно найдётся хотя бы одна, имеющая также нулевой резерв вре­мени. То есть, работы с нулевыми резервами времени следуют друг за другом не­прерывно.

Для доказательства данной теоремы рассмотрим обобщенный пример на ри­сунке 3.1 , где, в целях удобства, событиям присвоены условные номера.

Докажем теорему методом от противного.

????? ??? ??????, ???????? ? ??????? 2, ?????? ?????? ??????? . ??????????? ????????? ? ????? ???? ?????, ????????? ?? ??????? 2, ??? ?? ?????? ?????? ? ??????? ?????? ???????? ???????.

Для начала найдём, чему равен поздний срок свершения события 2. Он, в соответствии с формулой (2.2), определяется как минимальное время позднего на­чала работы среди всех работ, исходящих из рассматриваемого события. Пусть поздний срок свершения события 2 равен позднему началу работы, входящей, на­пример, в событие 4:

,

или, в соответствии с выражением (2.8) для полного резерва времени,

. ( 3.1)

Теперь рассмотрим, какое может иметь значение полный резерв времени ра­боты, исходящей из события 1 и входящей в событие 2. В соответствии с форму­лой (2.8):

. ( 3.2)

Из формулы (3.2) видно, что минимально возможное значение полного ре­зерва времени работы, исходящей из события 1 и входящей в событие 2, достига­ется тогда, когда величина достигает своего максимального значения. Из правила определения раннего срока свершения события, задаваемого формулой (2.1), следует, что максимальное значение этой величины может быть равно только раннему сроку свершения события 2, когда ранний срок окончания рассматривае­мой работы самый большой из всех ранних сроков окончания работ, входящих в событие 2. Тогда, минимально возможное значение полного резерва времени ра­боты, исходящей из события 1 и входящей в событие 2 равно:

,

или, исходя из формулы (3.1):

. ( 3.3)

Поскольку мы предположили от противного, что среди всех исходящих из события 2 работ нет работ с нулевым полным резервом времени, то отсюда сразу вытекает, что и работа, исходящая из события 1 и входящая в событие 2, также не может иметь нулевой полный резерв времени, уж если его минимальное значение заведомо неравно нулю, в соответствии с полученным равенством (3.3). Последнее противоречит условию теоремы. Из этого противоречия следует то, что невоз­можна ситуация, когда при нулевом резерве времени работы, входящей в событие 2, все исходящие из этого события работы имели бы ненулевые резервы времени. Если бы это имело место, то в соответствии с приведённым доказательством, ра­бота, входящая в событие 2 также бы имела ненулевой полный резерв времени. Но ведь это не так по условию теоремы. Тогда для работ, исходящих из события 2 ос­таётся другая возможная ситуация – хотя бы одна из них имеет также нулевой полный резерв времени. Теорема доказана.

Из доказанных выше теорем, непосредственно, следует методика поиска критического пути, приводимая ниже.

Рациональная методика поиска критического пути сетевого графика:

1 Просмотр сетевого графика ведётся от его начального события к конеч­ному;

2 При рассмотрении начального события сетевого графика, в качестве ра­боты, лежащей на критическом пути, выбирается та, которая имеет нулевой пол­ный резерв времени. В соответствии с теоремой 3.1 (утверждение-необходимость), такая работа обязательно будет существовать;

3 При рассмотрении работ, исходящих из события, к которому привила ра­бота с нулевым полным резервом времени, выбирается работа, также имеющая нулевой полный резерв времени. В соответствии с теоремой 3.2, такая работа су­ще­ствует;

4 Если, среди исходящих из некоторого события работ, есть несколько ра­бот с нулевыми полными резервами времени, то выбирается любая. При этом, со­гласно теореме 3.2, процесс построения критического пути в тупик зайти не мо­жет, и рано или поздно дойдет до завершающего события сетевого графика.

Реализация указанных правил даёт путь, состоящий только из работ с нуле­выми полными резервами времени. Тогда, на основании теоремы 3.1 (утвержде­ние-достаточность), этот путь и будет являться критическим.