Теперь рассмотрим вопрос поиска наикратчайшего пути сетевого графика. Оказывается, для его поиска можно применять, методику поиска критического пути, если использовать идею, высказываемую в следующей теореме.

Теорема 3.3 – Если произвести расчёт параметров заданного сетевого гра­фика по установленным правилам, но заменяя известные длительности работ на те же значения с отрицательным знаком (длительности всех работ будут меньше нуля), то наикратчайший путь сетевого графика станет подчиняться всем свойст­вам кри­тического пути.

Эту теорему легко доказать, используя правило сравнения отрицательных чисел. Данное правило заключается в том, что одно отрицательное число счита­ется большим другого, если абсолютное значение первого меньше абсолютного значения второго. Поскольку длительность наикратчайшего пути, по абсолютному значению наименьшая, среди длительностей всех других путей сетевого графика, то, на основании указанного правила, отрицательная длительность наикратчай­шего пути будет наибольшей среди отрицательных длительностей остальных пу­тей. Тогда, наикратчайший путь, состоящий из работ с отрицательными длитель­ностями, будет критическим, при условии, что все остальные пути, также состоят из работ с отрицательными длительностями. Теорема доказана.

Для проверки доказанной теоремы, параметры сетевого графика на рисунке 2.1 пересчитаны заново, при отрицательных значениях длительностей работ, и пред­ставлены на рисунке 3.2 . Как видно, сетевой график на рисунке 3.2 содержит путь, работы которого имеют только нулевые полные резервы времени. Данный путь выделен жирными стрелками. Этот путь, являясь критическим для сетевого гра­фика на рисунке 3.2 , в тоже время является наикратчайшим путем для сетевого гра­фика на рисунке 2.1 . Последнее можно проверить простым суммированием дли­тельностей его работ. Полученная сумма должна быть наименьшей по абсо­лют­ному значению, среди аналогичных сумм других путей сетевого графика на ри­сунке 2.1 .

Вообще говоря, для нахождения продолжительности наикратчайшего пути, необходимой при анализе оптимальности сетевого графика по критерию (1.1), не обязательно суммировать длительности всех, принадлежащих ему работ. Она уже известна из рассчитанных, при отрицательных длительностях работ, парамет­ров сетевого графика, и равна, как и для любого критического пути, сроку свер­шения завершающего события. Естественно, что данный срок свершения имеет отрица­тельное значение, и поэтому, для нахождения фактической длительности наикрат­чайшего пути, требуется менять это значение на противоположное.

?????????? ???????, ??? ????? ????????? ? ?????? ????? ?????? ?????? ???? ???????? ?????????????????. ?? ?????? ?????? ??????????????? ????????, ??? ??????? ???????? ???????, ?? ?????. ??? ??????? ?????????????? ???????? ???????? ? ????????????? ??? ???????????, ?????????? ????? ????, ??? ???????? ?????? ????, ? ?????? ?? ?????????????????. ?????? ?? ??? ??????? ? ???? ????????????? ???????? ?????? ?????? ?????, ?????????? ? ???? ???????.

4 Автоматизация анализа оптимальности сетевых графиков на ЭВМ

4.1 Представление сетевого графика в машинной форме

Любая ЭВМ нуждается в преобразовании различных абстрактных понятий, ясных для человека, в удобную для неё форму. Сетевой график, как графическое изображение упорядоченных кружков и стрелок само по себе для ЭВМ нечего не значить. Для того, чтобы ЭВМ могла понимать структуру сетевого графика и, главное, обрабатывать её, необходимо представить эту структуру в эквивалентной машинной форме.

Наиболее удобный способ представления структуры сетевого графика в ма­шинной форме, основан на понятии матрицы смежностей . Пример данной матрицы для структуры сетевого графика на рисунке 2.1 представлен на рисунке 4.1 .

Матрица смежностей квадратная и имеет размерность , где – число событий сетевого графика. Номера строк матрицы задаются номерами событий , из которых работы сетевого графика исходят, номера столбцов матрицы зада­ются номерами событий , в которые работы сетевого графика входят. На пере­сечении строки и столбца , в матрице смежностей, может быть только одно из двух значений: 0 или 1. Если , то это означает, что на сетевом гра­фике существует работа, исходящая из события с номером и входящая в со­бытие с номером . Если , то такой работы на сетевом графике нет.

Матрица смежностей будет верно отражать структуру сетевого графика, если сетевой график построен по всем, узаконенным стандартом правилам. Здесь, наиболее важны следующие:

−

???????? ????????????? ?????? ? ????? ????????, ??? ??????? ????? ????????????? ????? ???????? ?? ??????? ???????. ?? ????, ???? ??????????? ?????????? ??????? ? ??? ???????? ? ???? ??????, ?? ????? ????? ??????? ?????? ???? ?????? ??????? ???? ???????, ?? ??????? ??? ?????? ???????. ? ???? ?????? ?????? ?????? ? ?????? ??????? ??????? ?????????? ????????????? ?????????? ??????? ???????? ??????? , ? ????????? ?????? ? ??????? ? ???????????? ???????? ???????? ??????? , ??? ? ????? ???? ??????? ? ??????? ???????.

− Два события сетевого графика может соединять только одна работа. Если все же имеет место факт соединения двух событий несколькими работами, то, для выполнения указанного правила, необходимо ввести дополнительные события, разрывающие лишние работы и дополняющие их фиктивными работами с нулевой длительностью (см. пример на рис. 4.2 ). Дополнительные события также должны иметь свои уникальные, в сетевом графике, номера, присвоенные им в соответст­вии с первым правилом.

Верно построенная матрица смежностей обладает радом полезных свойств:

−

???? ???????? ????????? ??????? ??????? , ?? ??????? ? ???????????????? ?????? ?????? ?? ?????? ??????? , ? ???????? ??????? ?????????, ?????????? ?? ???? ????????. ??? ???????? ??????? ?? ??????? ?????????? ???????? ??????????.

− Если задаться некоторым номером события , то единицы в соответст­вующем столбце укажут на номера событий , с которыми событие соеди­нено, входящими в него работами. Эт