Радиоэлектроника / Реферат: Разработка и исследование имитационной модели разветвленной СМО (системы массового обслуживания) в среде VB5

Реферат: Разработка и исследование имитационной модели разветвленной СМО (системы массового обслуживания) в среде VB5

Поток событий называется стационарным , если его вероятностные характеристики не зависят от времени. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся интервалов времени t₁ и t₂ число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. По сути это означает, что события, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени независимо друг от друга, причем каждое вызвано своими собственными причинами.

Поток событий называется ординарным , если события в нем появляются поодиночке, а не группами по несколько сразу. Например, поток клиентов, направляющихся в парикмахерскую или к зубному врачу, обычно ординарен, чего нельзя сказать о потоке клиентов, направляющихся в загс для регистрации брака. Поток поездов, подходящих к станции, ординарен, а поток вагонов — неординарен. Если поток событий ординарен, то вероятностью попадания на малый интервал времени t двух или более событий можно пренебречь.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами: стационарен, ординарен и не имеет последействия. Название «простейший» связано с тем, что процессы, связанные с простейшими потоками, имеют наиболее простое математическое описание. Самый простой, на первый взгляд, регулярный поток не является «простейшим», так как обладает последействием: моменты появления событий в таком потоке связаны жесткой функциональной зависимостью.

Простейший поток играет среди других потоков особую роль. А именно, при наложении (суперпозиции) достаточно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивности) получается поток, близкий к простейшему.

Для простейшего потока с интенсивностью l интервал между соседними событиями имеет так называемое экспоненциальное распределение с плотностью

(t > 0) (1)

Величина l в формуле (1) называется параметром показательного закона. Для случайной величины Т , имеющей экспоненциальное распределение, математическое ожидание m _T есть величина, обратная параметру, а среднее квадратическое отклонение s _T равно математическому ожиданию:

(2)

В теории вероятностей в качестве «меры случайности» неотрицательной случайной величины нередко рассматривают так называемый коэффициент вариации:

(3)

Из формул (2), (3) следует, что для показательного распределения n _t = 1 , т. е. для простейшего потока событий коэффициент вариации интервалов между событиями равен единице.

Очевидно, что для регулярного потока событий, у которого интервал между событиями вообще не случаен (n _t = 0 ), коэффициент вариации равен нулю. Элементом вероятности называется вероятность попадания на этот интервал хотя бы одного события потока. Легко доказать, что элемент вероятности (с точностью до малых величин более высокого порядка по сравнению с D t ) равен:

(4)

т. е. для простейшего потока элемент вероятности равен интенсивности потока, умноженной на длину элементарного интервала. Элемент вероятности, в силу отсутствия последействия, совершенно не зависит от того, сколько событий и когда появлялись ранее.

Нормальное распределение занимает центральное место среди непрерывных распределений. Его плотность определяется формулой:

F(t) = (5)

где s > 0 , m — параметры распределения. При s = 1 и m = 0 имеет место стандартное нормальное распределение с плотностью:

F(t) = (6)

Пусть рассматривается система S, имеющая n возможных состояний S₁ , S₂ , ..., S_n . Назовем вероятностью i-го состояния вероятность p_i (t) того, что в момент t система будет находиться в состоянии S_i . Очевидно, что для любого момента сумма всех вероятностей состояний равна единице.

Имея в своем распоряжении размеченный граф состояний, можно найти все вероятности состояний p_i (t) как функции времени. Для этого составляются и решаются так называемые уравнения Колмогорова — дифференциальные уравнения особого вида, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний.

Что будет происходить с вероятностями состояний при t ® ¥ ? Будут ли p₁ (t), p₂ (t),... стремиться к каким-то пределам? Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальными вероятностями состояний . В теории случайных процессов доказывается, что если число n состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое, то финальные вероятности существуют.

Финальную вероятность состояния S_i можно истолковать как среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии.

Граф состояний для схемы гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 1. Особенность этого графа в том, что все состояния системы можно вытянуть в цепочку, в которой каждое из средних состояний связано прямой и обратной стрелкой с каждым из соседних состояний — правым и левым, а крайние состояния — только с одним соседним состоянием. Термин «схема гибели и размножения» ведет начало от биологических задач, где подобной схемой описывается изменение численности популяции.

Схема гибели и размножения

l ₀₁ l ₁₂ l ₂₃ l _k-1,k l _k,k+1 l _n-1,n