Реферат: Решение математических многочленов
21 P 41 P 4 g1P 41 P 4
4lp 8 з p 24 2 p 32 I p 16
I " P 2 W
5 I p io 4 p 40 3 p 80 2 p 80 i p 32,Что означает (X + 2) 2 = X2 + 4 X 4 - 4, (x2+ 4x + 4) 2= x4 - b8x3 + 24x2 + 32x + i6.
Такие громоздкие записи затрудняли алгебраические действия, тормозили развитие науки. Между тем не только необходимость, но и возможность введения и употребления кратких записей и буквенной символики стали особенно очевидными после изобретения книгопечатания в XV веке.
Алгебру Диофанта, индийских и западноевропейских математиков до XV - XVI веков, в которой употреблялись отдельные буквы, обозначения и сокращения слов, иногда называют синкопирующей (от греческого "синкопе" - сокращение).
В конце XVI века Виет, основываясь на частично разработанной до него символике, стал обозначать буквами не только неизвестные, но и коэффициенты при них, ввел общую буквенную символику. Однако записи уравнений Виета содержали еще много слов вместо символов. Например, вместо знака равенства он писал слово "равно" и т.п.
Алгебраическая символика совершенствовалась и продолжала развиваться в трудах Рене Декарта, Исаака Ньютона, Леонарда Эйлера и других ученых XVII - XVIII веков.
Алгебраическая символика значительно облегчила изучение математики и способствовала ее полному расцвету.
Математические исследования Декарта тесно связаны с его работами по философии и физике. В "Геометрии" (1637) Декарт впервые ввёл понятия переменной величины и функции.
Переменная величина у Декарта выступала в двойной форме: как отрезок переменной длины и постоянного направления - текущая координата точки, описывающей своим движением кривую, и как непрерывная числовая переменная, пробегающая совокупность чисел, выражающих этот отрезок. Двоякий образ переменной обусловил взаимопроникновение геометрии и алгебры. У Декарта действительное число трактовалось как отношение любого отрезка к единичному, хотя сформулировал такое определение лишь И. Ньютон; отрицательные числа получили у Декарта реальное истолкование в виде направленных ординат. Декарт значительно улучшил систему обозначений, введя общепринятые знаки для переменных величин (x, у, z ) и коэффициентов (a, b, с), а также обозначения степеней (х 4 , a 5 ). Запись формул у Декарта почти ничем не отличается от современной.
До середины XIX века центральной задачей алгебры было нахождение формулы для корней уравнения P (x) = 0, где P - многочлен произвольной степени. Эта задача была полностью решена в работах молодых математиков первой трети XIX века - Э. Галуа (1811-1832), Н. Абеля (1802-1829) и П. Руффини (1765-1822).
Эварист Галуа
Еще в XVI веке итальянскими математиками были найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени. Абель и Руффини доказали, что, начиная с пятой степени, общей формулы, использующей, кроме сложения и умножения, лишь извлечение корней, не существует, а Галуа открыл закономерности поведения корней, приложимые к каждому конкретному уравнению.
Параллельно с этим К. Гаусс доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что всякий многочлен (коэффициенты многочлена могут быть не только вещественными, но и комплексными числами) имеет хотя бы один корень (возможно, являющийся не вещественным, а комплексным числом). После этого вопрос о вычислении корней многочлена переместился из алгебры в теорию функций и приближенных вычислений.
В XX веке роль многочленов стала меняться. Буквы, входящие в многочлен, все больше стали играть роль символов, не связанную с их конкретными значениями. Самые разные области математики и ее приложений стали использовать символьное исчисление многочленов, не зависящее от теории функций (математическая логика, топология, теория информации, дискретная и компьютерная математика и т.д.).
Приведем пример. В XX веке важнейшей задачей человечества стала задача передачи информации (радио, телефон, передача видеосигналов и т.д.).
Математически сообщение может быть записано в виде последовательности символов (точки и тире в старинной азбуке Морзе, нули и единицы и т.п.), передаваемой по так называемому каналу связи (например, в виде радиосигналов).
Определение многочлена
Одночленом от некоторой буквы x называется алгебраическое выражение a. xn
где
a - некоторое число,
x - буква,
n - целое неотрицательное число.
Одночлены называются подобными , если показатели степени у буквы одинаковы. Подобные одночлены можно складывать по правилу:
a. xn + bn . xn = (a+ b). xn
Это действие называется приведением подобных членов .
Многочленом называется алгебраическая сумма одночленов.
Любой многочлен от одной буквы x (ее часто называют переменной ) после приведения подобных членов может быть записан по убывающим степеням этой буквы в виде
F (x) = an. xn + an-1 . xn-1 + …+ a1 . x + ao
или по возрастающим степеням