Реферат: Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя
1.2.1. Приведение системы к виду, удобному для итераций. Для того чтобы применить метод Зейделя к решению системы линейных алгебраических уравнений
Ax = b
с квадратной невырожденной матрицей A , необходимо предварительно преобразовать эту систему к виду
x = Bx + c .
Здесь B – квадратная матрица с элементами bij (i, j = 1, 2, …, n ), c – вектор-столбец с элементами cij (i = 1, 2, …, n ).
В развернутой форме записи система имеет следующий вид:
x 1 = b 11 x 1 + b 12 x 2 + b 13 x 3 + … + b 1n xn + c 1
x 2 = b 21 x 1 + b 22 x 2 + b 23 x 3 + … + b 2n xn + c 2
. . . . . . . . . . . . . . . . .
xn = bn 1 x 1 + bn 2 x 2 + bn 3 x 3 + … + bnn xn + cn
Вообще говоря, операция приведения системы к виду, удобному для итераций , не является простой и требует специальных знаний, а также существенного использования специфики системы.
Самый простой способ приведения системы к виду, удобному для итераций, состоит в следующем. Из первого уравнения системы выразим неизвестное x 1 :
x 1 = a 11 –1 (b 1 – a 12 x 2 – a 13 x 3 – … – a 1n xn ),
из второго уравнения – неизвестное x 2 :
x 2 = a 21 –1 (b 2 – a 22 x 2 – a 23 x 3 – … – a 2n xn ),
и т. д. В результате получим систему
x 1 = b 12 x 2 + b 13 x 3 + … + b 1,n –1 xn –1 + b 1n xn + c 1 ,
x 2 = b 21 x 1 + b 23 x 3 + … + b 2,n –1 xn –1 + b 2n xn + c 2 ,
x 3 = b 31 x 1 + b 32 x 2 + … + b 3,n –1 xn –1 + b 3n xn + c 3 ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xn = bn 1 x 1 + bn 2 x 2 + bn 3 x 3 + … + bn ,n –1 xn –1 + cn ,
в которой на главной диагонали матрицы B находятся нулевые элементы. Остальные элементы выражаются по формулам
bij = –aij / aii , ci = bi / aii (i, j = 1, 2, …, n, j ≠ i )
Конечно, для возможности выполнения указанного преобразования необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы A были ненулевыми.
1.2.1. Описание метода. Введем нижнюю и верхнюю треугольные матрицы
0 0 0 … 0 0 b 12 b 13 … b 1n
b 21 0 0 … 0 0 0 b 23 … b 2n
B 1 = b 31 b 32 0 … 0 , B 2 = 0 0 0 … b 3n
. . . . . . . . . . . . . .