Реферат: Решение уравнений в конечных разностях

Где p - некоторый параметр-константа. Количество частных решений определится числом параметров , для которых будет обращать разностное уравнение в тождество. Общее решение составляется в виде суммы частных решений, умноженных на коэффициенты, определяемые конкретными начальными условиями. Рассмотрим пример решения линейного неоднородного уравнения третьего порядка.

Пусть требуется заменить рекуррентный вычислительный процесс с псевдокодом следующего вида:

на формульное выражение для , как функции от n, позволяющее выборочно вычислять значение любого члена последовательности. Для этого в рекуррентном операторе цикла заменим оператор ': =' на символ равенства '=' и запишем полученное уравнение в форме неоднородного разностного уравнения относительно :

.

В качестве фундаментальной системы функций возьмем тогда характеристическое уравнение примет следующий вид:

.

Решив уравнение, найдем корни: , следовательно, частными решениями однородного уравнения будут:

Частное решение неоднородного уравнения (с правой частью) попробуем найти в виде функции, которая будет пропорциональна квадратуре от правой части с неизвестными коэффициентами:

Для нахождения коэффициентов a и b подставим в уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях n в левой и правой частях полученного равенства. Последовательно выполняя сказанное, имеем:

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые при различных степенях n , получим

откуда и частное решение примет вид

.

Общее решение для конкретных начальных условий ищем в виде суммы частных решений:

.

Константы находим из уравнений, получаемых после подстановки в общее решение значений для при :

В результате, общее решение неоднородного уравнения будет:

Для примера выпишем несколько первых членов ряда, полученных вычислением этого выражения: [0, - 1, 1, 2, 2, 5, 11, 16, 20, 27, 37, 46, 54, 65, 79, 92, 104, 119, 137, 154, 170,...]

3. Рекуррентные формулы для решения разностных уравнений

Интегрирование системы нелинейных разностных уравнений первого порядка по Эйлеру аналитически выполнить, как правило, не удается. Поэтому решение задачи получают в численном виде путем вычисления очередных значений процессов по рекуррентным формулам, начиная с известных начальных условий:

,

Где - очередное значение вектора решений,