Реферат: Решение задач с помощью ортогонального проектирования

1.5. Комплексный чертеж плоскости.

????????? ?????????? ??? ?? ?????, ?? ??????? ?? ????? ??????. ??????? ?? ??????????? ??????? ?????? ????????? Q ????? ???? ?????? ?????????? ?₁ , ?₁ , ?₁ ? ?₂ , ?₂ , ?₂ ???? ?? ????? ?, ?, ? (???. 7 ?, ?). ??? ??????? ??????????? ???????? ????? ?, ? ? ? ???????. ??????? ??????? ????????? ????????????? ???. ??? ???? ??????? ???????, ??? ????????? ??????????? ? ??????? ????????? ?????????? ????? ???????? ?? ??????? ????????????.

1.6. Взаимопринадлежность точки и плоскости.

Покажем, как задать какую-нибудь точку плоскости. Пусть плоскость Q задана тремя точками А, В и С (рис. 8). Соединим их прямыми, тогда плоскость Q будет задана треугольником АВС. Проще всего искомую точку М¹ задать на какой-нибудь стороне, например ВС. Проведем в плоскости Q произвольную прямую l . Выделим на плоскости Q две произвольные точки, например, А и М¹ , и определим этими точками прямую l ( l₁ , l₂ ) , принадлежащую плоскости Q.

Так как проекция плоскости Q покрывает все поле проекций, то одну из проекций точки, принадлежащей плоскости, можно задать произвольно, тогда вторая проекция определится однозначно. Выберем произвольно проекцию М₁ ³ . Далее проведем в плоскости Q какую-нибудь прямую m , горизонтальная проекция которой проходила бы через выбранную проекцию М₁ ³ . Прямая m определена точками C и N, принадлежащими плоскости Q. Построив вторую проекцию m₂ прямой m в пересечении с линией связи, проведенной черезМ₁ ³ ,найдем искомую проекцию М₁ ³ .

Таким образом, построение точки в данной плоскости сводится к двум операциям: построению в плоскости вспомогательной прямой и построению точки на этой прямой.

Изображаемая фигура называется оригиналом , а изображенная – проекцией данной фигуры.

2.1. Проекция окружности.

Параллельной проекцией окружности является кривая, называемая эллипсом. Так как ортогональная проекция является частным случаем параллельной проекции, то, проецируя окружность О, расположенную в плоскости общего положения Q (рис. 9) ортогонально на плоскость П₁ , получаем эллипс О₁ .

В окружности проведем два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD, причем АВ пройдет по прямой уровня плоскости Q, а диаметр CD – по прямой наибольшего уклона этой плоскости по отношению к плоскости проекций П₁ . Тогда диаметр АВ спроецируется в диаметр А₁ В₁ эллипса, равный диаметру окружности, т.е. АВ=А₁ В₁ , а диаметр CD спроецируется в диаметр C₁ D₁ эллипса. Так как угол, образованный этими диаметрами, является линейным углом двугранного угла наклона плоскости Q к плоскости П₁ , то, обозначив его через φ, получим C₁ D₁ =CDcosφ. Взаимно перпендикулярные окружности диаметры обладают свойством сопряженности (каждый сопряженный диаметр делит пополам хорды, параллельные другому диаметру). Это свойство при параллельном проецировании сохраняется. Следовательно, диаметры А₁ В₁ и C₁ D₁ будут сопряженными диаметрами эллипса. Но, с другой стороны, они взаимно перпендикулярны, поэтому являются осями эллипса, причем А₁ В₁ - большая ось, а C₁ D₁ - малая ось.

2.2. Проекция треугольника, параллелограмма и трапеции.

Треугольник изображается треугольником любой формы. Медиана треугольника будет изображаться медианой, так как отношение отрезков сохраняется. При проекции биссектрисы и высоты пойдет искажение.

Так как параллельность прямых сохраняется, то изображение параллелограмма, в частности, прямоугольника, ромба, квадрата, служит параллелограмм. Длина сторон и величины углов произвольные.

Любая трапеция изображается в виде произвольной трапеции. Сохраняется только отношение оснований. Равнобокая трапеция имеет ось симметрии. Ее изображают следующим образом (рис. 10). Каждое из оснований делим пополам и проводим ось симметрии.

2.4. Проекции правильного шестиугольника.

При построении оригинала правильного шестиугольника используют два симметричных ромба: OBCD и OAFE (рис. 11, а). Изображение же получается при построении ромбов в виде двух одинаковых произвольных параллелограммов. Для получения проекции правильного шестиугольника надо оставшиеся точки соединить (рис. 11, б).

2.5. Проекции тетраэдра и параллепипеда.

Тетраэдр (треугольная пирамида) изображается в виде произвольного четырехугольника с его диагоналями (рис.12, а).

??? ?????????? ???????? ????????????? ??????? ?? ???????????? ????? ???????? ??? ???? ????????? ?????, ?? ???????????. ????? ?? ?????? ???? ????? ?????? ??????????????. ?????????? ?????? ??????????? ?? ????????????? (???. 12,?).

Глава III. Задачи на метрические построения.

3.1. Выносные чертежи.

Чертеж, на котором построена фигура Ф₀ , имеющая форму оригинала заданной плоской фигуры (т. е. подобная фигуре Ф), называют выносным чертежом фигуры Ф.

Если точки P, Q и R принадлежат секущей плоскости и не лежат на одной прямой, а их проекции на плоскость, выбранную в качестве основной, - точки P’, Q’ и R’, то точки пересечения соответственных прямых, т.е. точки S₁ =PQ∩P’Q’, S₂ =PR∩P’R’, S₃ =RQ∩R’Q’, лежат на одной прямой. Эта прямая является основным следом секущей плоскости.

Построение выносных чертежей может быть выполнено вычислительным , а также геометрическим способом.

Задача 1. На ребрах ВВ₁ и CD куба ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ взяты соответственно точки P и Q – середины этих ребер. Построить фигуру, подобную многоугольнику, полученному в сечении кубу плоскостью С₁ PQ.

Решение (рис. 13, а). Находим точку S₁ , в которой пересекаются прямые C₁ P и BC. Таким образом, прямая S₁ Q является основным следом плоскости C₁ PQ, а в сечении получается четырехугольник C₁ PS₁ Q.

I способ построения – вычислительный . Полагая ребро куба равным a , подсчитаем стороны треугольника C₁ S₁ Q. Как нетрудно показать, точка Р – середина отрезка C₁ S₁ и PS₂ ║ C₁ Q. Поэтому ясно, что, построив треугольник, подобный оригиналу треугольника C₁ S₁ Q, можно будет затем построить и искомую фигуру.

Из прямоугольного треугольника C₁ S₁ С, в котором C₁ S=2ВС=2a , находим, что C₁ S₁ =a √5. Затем из прямоугольного треугольника C₁ СQ получаем C₁ Q=½a √5 и из прямоугольного треугольника CS₁ Q: S₁ Q=½a √17.

Выбирая теперь некоторый отрезок в качестве отрезка, равного а , построим отрезки x, y, z , заданные следующими формулами: x= a √5 , y= ½a √5, z= ½a √17, например, так, как это сделано ни рисунке 13, б.

Далее на рисунке13, в строим треугольник (С₁ )₀ Q₀ (S₁ )₀ со сторонами (С₁ )₀ (S₁ )₀ =kx , (S₁ )₀ Q₀ =kz , полученными на рисунке13, б.