Реферат: Решение задач с помощью ортогонального проектирования

Пусть заданы плоскость α и прямая т ₁ . Если через какую-нибудь точку W прямой т ₁ провести прямую т ₂ , перпендикулярную плоскости α , то плоскость β, определяемая пересекающимися прямыми т ₁ и т ₂ , будет перпендикулярна плоскости α.

Таким образом, задача построения плоскости β, проходящей через заданную прямую т ₁ и перпендикулярной плоскости α, сводится к построению прямой т ₂ , проходящей через какую-нибудь точку W прямой т ₁ и перпендикулярной плоскости α.

Задача 7. На ребре CD правильной пирамиды MABCD, высота которой равна половине диагонали ее основания, взята точка Е – середина этого ребра и через точки М, В и Е проведена секущая плоскость α. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую BD перпендикулярно плоскости α. Найти линию пересечения построенной плоскости с плоскостью α.

Решение (рис. 21, а). Опустим перпендикуляр из точки О – середины диагонали BD на плоскость α. Построение этого перпендикуляра выполним с помощью выносных чертежей.

???????? ??????? A₀ B₀ C₀ D₀ (???. 21, ?), ????? ?₀ , ? ??????? ???????????? ??? ?????????, ? ???????? ?????? B₀ ?₀ , ??? ????? ?₀ ? ???????? ??????? C₀ D₀ . ????? ????? ????? ?₀ ???????? ?????? ?₀ F₀ ┴ B₀ ?₀ ? ?????? ????? Q_{0 ,} N₀ , ? ??????? ?????? ?₀ F₀ ?????????? ?????????????? ?????? ?₀ D₀ ? B₀ C₀ .

Вернемся к рисунку 21, а. С помощью луча l₁ построим но отрезке AD точку Q, такую что AQ:AD=k₁ А₀ Q₀ : k₁ А₀ D₀ (опорная задача 3). Прямая QO является, таким образом, изображением прямой, перпендикулярной прямой ВЕ. Построим далее точки N и F, в которых прямая QO пересекает соответственно прямые ВС и ВЕ. Соединим точку М с точками Q, N и F.

Построим теперь треугольник M₀ Q₀ N₀ , подобный оригиналу треугольника MQN (рис. 21, в). Ясно, что в треугольнике M₀ Q₀ N₀ M₀ Q₀ =M₀ N₀ . Сторону Q₀ N₀ этого треугольника возьмем с рисунка 21, б вместе с точкой F₀ , принадлежащей этому отрезку. Высоту М₀ О₀ возьмем равной отрезку А₀ О₀ , полученному также на рисунке 21, б.

В построенном треугольнике M₀ Q₀ N₀ через точку О₀ проведем прямую, перпендикулярную прямой М₀ F₀ , и точку пересечения построенной прямой с прямой M₀ N₀ обозначим Р_0.

Вернемся к рисунку 21, а. С помощью луча l₂ найдем точку Р, которая делит отрезок MN в отношении MP:MN=k₀ M₀ P₀ : k₀ M₀ N₀ (опорная задача 3). Точку О соединим с точкой Р. Прямыми BD и OP определяется плоскость искомого сечения.

Строим сечение BVD и находим точку L, в которой пересекаются прямые DVи МЕ. Прямая BL – линия пересечения плоскости МВЕ с плоскостью BVD.

Построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.

Задача 8. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный треугольник АВС, боковое ребро МС перпендикулярно плоскости основания, и отношение ребер СА:СВ:СМ=√2:√2:1. На ребрах соответственно точки D и Е – середины этих ребер. Построить сечение пирамиды плоскостью α, проходящей через точку Е перпендикулярно прямой МD.

Решение. Способ выносных чертежей (рис. 22, а). Так как плоскость α перпендикулярна прямой МD, то прямая МD перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α. В частности, если прямая МD пересекает плоскость α в точке Н, то МD┴ЕН, т. е. отрезок ЕН – это высота треугольника М₀ Е₀ D₀ , подобно оригиналу треугольника МЕD.

1) Построим равнобедренный прямоугольный треугольник А₀ В₀ С₀ (рис.22, б), точки D₀ и Е₀ – середины соответственно его сторон А₀ В₀ иВ₀ С₀ , и таким образом получим отрезок D₀ Е₀ . Это одна из сторон треугольника М₀ Е₀ D₀ .

2) Построим прямоугольный треугольник В₀ С₀ М₀ (рис. 22, в), катет В₀ С₀ которого взят с рисунка 22, б. Из равенства СВ:СМ=√2:1 ясно, что катет С₀ М₀ следует построить равным В₀ С₀ ∙½√2 (т. е. он равен половине диагонали квадрата со стороной В₀ С₀ ). Медиана М₀ Е₀ треугольника В₀ С₀ М₀ – это вторая сторона треугольника М₀ Е₀ D₀ .

3) Построим равнобедренный треугольник А₀ В₀ М₀ (рис. 22, г), основание которого возьмем с рисунка 22, б, а боковые стороны А₀ М₀ = В₀ М₀ – с рисунка 22, в. Медиана М₀ D₀ треугольника А₀ В₀ М₀ – это третья сторона треугольника М₀ Е₀ D₀ .

4) По трем полученным на рисунке 22, б, в, г сторонам строим треугольник М₀ Е₀ D₀ (рис. 22, д) и проведем в нем Е₀ Н₀ ┴ М₀ D₀ .

5) Возвращаемся к рисунку 22, а. На рисунке 22, д точка Н₀ разделила отрезок М₀ D₀ в отношении М₀ Н₀ : М₀ D₀ . С помощью луча l в таком же отношении разделим точкой Н отрезок МD (опорная задача 3).

6) Так как плоскость α и плоскость АВМ имеют общую точку Н, то эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку Н. Более того, ?