Реферат: Рішення рівнянь із параметрами

3. а = 0, b 0. Рівняння 0х = b

рішень не має.

Зробимо одне зауваження. Істотним етапом рішення рівнянь із параметрами є запис відповіді. Особливо це ставиться до тих прикладам, де рішення як би «гілкується» залежно від значень параметра. У подібних випадках складання відповіді - це збір раніше отриманих результатів. І тут дуже важливо не забути відбити у відповіді всі етапи рішення.

У тільки що розібраному прикладі запис відповіді практично повторює рішення. Проте, я вважаю за доцільне привести відповідь.

Відповідь:

х = при а 0, b – будь-яке дійсне число;

х - будь-яке число при а = 0, b = 0;

рішень немає при а = 0, b ? 0.

Рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, тригонометричною й логарифмічною функціями

1. Знайдемо значення параметра n, при яких рівняння 15·10 ^х – 20 = n – n · 10^{х + 1} не має коренів?

Рішення : перетворимо задане рівняння: 15·10 ^х – 20 = n – n · 10^{х + 1} ; 15·10 ^х + n· 10^{х + 1} = n + 20; 10 ^х ·(15 + 10n) = n + 20; 10 ^х = .

Рівняння не буде мати рішень при ≤ 0, оскільки 10 ^х завжди позитивно.

Вирішуючи зазначену нерівність методом інтервалів, маємо: ≤ 0; (n + 20)·(15 + 10n) ≤ 0; - 20 ≤ n ≤ - 1,5.

Відповідь : .

2. Знайдемо всі значення параметра а , при яких рівняння lg² (1 + х² ) + (3а – 2)· lg(1 + х² ) + а² = 0 не має рішень.

Рішення : позначимо lg(1 + х² ) = z, z > 0, тоді вихідне рівняння прийме вид: z² + (3а – 2) · z + а² = 0 Це рівняння – квадратне з дискримінантом, рівним (3а – 2)² – 4а² = 5а² – 12а + 4. При дискримінанті менше 0, тобто при 5а² – 12а + 4 < 0 виконується при 0,4 < а <2.

Відповідь: (0,4; 2).

3. Знайдемо найбільше ціле значення параметра а , при якому рівняння cos2x + asinx = 2a – 7 має рішення.

Рішення : перетворимо задане рівняння:

cos2x + a sinx = 2a – 7; 1 – 2sin² х – asinx = 2a – 7; sin² х - a sinx + a – 4 = 0;

(sinх – 2) · = 0.

Рішення рівняння (sinх – 2) · = 0 дає:

(sinх - 2) = 0; х належить порожній множині.

sinх - = 0; х = (-1)ⁿ arcsin + πn, n Z при ≤ 1. Нерівність ≤ 1 має рішення 2 ≤ а ≤ 6, звідки треба, що найбільше ціле значення параметра а дорівнює 6.

Відповідь : 6.

4. Указати найбільше ціле значення параметра а , при якому корінь рівняння 4х² - 2х + а = 0 належить інтервалу (- 1; 1).

Рішення : корінь заданого рівняння рівні: х₁ =(1+ )

х₂ =, при цьому а ≤ .

За умовою -1 < (1+ ) < 1 < < 3,

- 1 < < 1 > > - 3.