Реферат: Розклад функцій в степеневий ряд Достатні умовирозкладу в ряд Тейлора Застосування степеневих

Приклад. Обчислити з точністю

Р о з в ‘ я з о к. Представимо підкореневе число так і тоді

Підставивши в ряд (13.60) замість а одержимо:

.

Оскільки це знакозмінний ряд , можна оцінити за теоремою Лейбніца залишок ряду

а тому з точністю до маємо:

2. Розклад в степеневий ряд деяких функцій. Застосуємо біноміальний ряд до розкладу інших функцій. Підставивши в ряд (13.59) замість вираз одержимо:

.

На основі теореми про інтегрування степеневих рядів одержимо при :

. (13.61)

Аналогічно, підставляючи в ряд (2.46) замість вираз одержимо ряд

.

Інтегруючи даний ряд, будемо мати

. (13.62)

Цей ряд збігається в інтервалі . Можна було б довести, що ряд збігається при і що для цих значень сума ряду також дорівнює Тоді, поклавши в ряд (13.62) одержимо формулу для обчислення числа :

.

3. Розклад в степеневий ряд функції

Інтегруючи рівність (13.59) в межах від до (при ), одержимо:

(13.63)

Ця рівність справедлива на інтервалі

Замінюючи в формулі (13.63) на , одержимо ряд

, (13.64)

який збігається на інтервалі

За допомогою рядів (13.63) і (13.64) можна обчислювати логарифми чисел. що містяться між нулем та одиницею. Виведемо формулу для обчислення натуральних логарифмів довільних цілих чисел.

Оскільки два збіжних ряди можна почленно віднімати, то, віднімаючи від рівності (13.63) почленно рівність (13.64), отримаємо:

.