Реферат: Розклад функцій в степеневий ряд Достатні умовирозкладу в ряд Тейлора Застосування степеневих

,

звідки

.

(13.65)

13.14. Обчислення означених інтегралів за допомогою рядів

Розглядаючи інтеграли, було відмічено, що існують означені інтеграли, котрі, як функції верхньої границі, не виражаються через елементарні функції в скінченому вигляді. Такі інтеграли інколи буває зручно обчислювати за допомогою рядів.

Розглянемо декілька прикладів.

1. Обчислити

з точністю до

Використаємо ряд (2.41) для Тоді, замінюючи на одержимо

.

Цей ряд рівномірно збігається на всій числовій осі, тому його можна почленно інтегрувати на довільному проміжку. Інтегруючи даний ряд, одержимо Це знакочергуючий ряд. Тому, з точністю до , маємо

2. Обчислити інтеграл

Тут первісна не є елементарною функцією. Для обчислення цього інтеграла скористаємося рядом (2.42), замінивши на :

.

Інтегруючи обидві частини рівності в межах від до , одержимо:

За допомогою цієї рівності можна при довільному обчислити даний інтеграл з довільною точністю.

3. Обчислити з точністю до 0.0001 , де

Замінюючи в ряді (13.55) на , одержимо

Інтегруючи почленно в межах від до будемо мати

Тоді