1.Сколькими способами колода в 52 карты может быть роздана 13-ти игрокам так, чтобы каждый игрок получил по одной карте каждой масти? L

2. Сколькими способами можно расставить 10 книг на полке так, чтобы две определённые книги не стояли рядом? Чтобы три, четыре определенные книги не стояли рядом?

3. Сколькими различными способами можно рассадить за круглым столом 10 гостей? Один способ отличается от другого, если у кого-то из гостей меняется хотя бы один сосед.

4. Имеется пять кусков материи разных цветов. Сколько различных флагов можно скроить из этих кусков, если каждый флаг состоит из трёх горизонтальных полос разного цвета?

5. Каждая из n различных коммерческих организаций намеревается принять на работу одного из n выпускников коммерческого отделения факультета МЭО. В каждой из этих организаций выпускнику предлагается на выбор одна из k должностей. Сколько существует вариантов распределения этих n выпускников на работу?

5. Сколько можно составить различных семизначных телефонных номеров? Сколько будет номеров, у которых все цифры разные?

6. Каждый участник лотереи “6 из 49” должен записать в специальной карточке 6 любых чисел от 1 до 49. При розыгрыше лотереи комиссия случайным образом отбирает 6 чисел из чисел 1,2,,49. Участник, правильно угадавший все 6 чисел, получает большой приз. Участник, угадавший лишь 5 чисел, получает малый приз. Участник, угадавший лишь 4 числа, получает поощрительный приз. Сколькими различными способами можно заполнить карточку, чтобы получить малый приз? Чтобы получить поощрительный приз?

7. У одного человека есть 7 книг, а у другого — 9 книг. Сколькими способами они могут обменять три книги одного на три книги другого?

8. Бригада строителей состоит из 16-ти штукатуров и 4-х маляров. Сколькими способами бригаду можно разделить на две бригады, чтобы в одной из них было 10 штукатуров и 2 маляра, а в другой 6 штукатуров и 2 маляра?

9. Из отряда солдат в 50 человек, среди которых есть два рядовых–однофамильца Ивановы, назначают в караул 4-х человек. Сколькими различными способами может быть составлен караул? В скольких случаях в карауле будут два Ивановых? В скольких случаях в карауле будет один Иванов? Хотя бы один Иванов?

10. Сколькими способами можно разложить 10 книг на 5 бандеролей по две книги в каждой (порядок бандеролей не принимается во внимание)?

11. У Деда Мороза в мешке 10 различных подарков. Сколькими спосо­бами эти подарки могут быть розданы 7-ми детям? Решить ту же задачу в предположении, что все подарки одинаковы.

12. Сколькими способами можно разложить 6 одинаковых шаров по трём ящикам, если каждый ящик может вместить все шары?

13. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нём 12 открыток?

14. Нужно провести 4 экзамена по различным дисциплинам в течение
20-ти дней. Сколько существует вариантов расписания экзаменов, если временной промежуток между экзаменами должен быть не меньше 3-х дней? (4!)

Классическое определение вероятности.

1. Колода из 32-х карт тщательно перетасована. Найти вероятность того, что все четыре туза лежат в колоде один за другим, не перемежаясь другими картами.

Решение. Число всех возможных способов расположения карт в колоде равно 32! Чтобы подсчитать число благоприятных исходов, сначала представим себе, что четыре туза располагаются каким-то образом один за другим и склеиваются между собой так, что они, как бы составляют одну карту (неважно, что она оказалась толще, чем все остальные). В полученной колоде стало 32 – 4 + 1 = 29 карт. Карты в этой колоде можно расположить числом способов, равным 29! Количество всех благо­приятных исходов получается, если это число умножить на 4! – число возможных способов упорядочения четырёх тузов. Отсюда получаем ответ задачи: .

2. Между двумя игроками проводится n партий, причем каждая партия кончается или выигрышем, или проигрышем, и всевозможные исходы партий равновероятны. Найти вероятность того, что определённый игрок выиграет ровно m партий, 0  m  n.

Решение. Каждая партия имеет два исхода – выигрыш одного или другого участника. Для двух партий имеется 2² = 4 исходов, для трёх партий – 2³ =8 исходов, для n партий – 2ⁿ исходов. Среди них ровно исходов соответствуют выигрышу одного из игроков m партий. Таким образом, искомая вероятность равна .

3. Бросается n игральных костей. Найти вероятность того, что на всех костях выпало одинаковое количество очков.

Решение. Общее число исходов здесь равно 6ⁿ. Число благоприятных исходов – 6. Ответ задачи: .

4. В урне a белых и b чёрных шаров (a  2; b  2). Из урны без возвращения извлекаются 2 шара. Найти вероятность того, что шары одного цвета.

Решение. Эта вероятность равна

5. В урне находятся a белых и b черных шаров. Шары без возвращения извлекаются из урны. Найти вероятность того, что k-й вынутый шар оказался белым.

Решение. Представим процесс случайного извлечения шаров из урны следующим образом: шары произвольным образом размещены по расположенным в ряд ячейкам, и извлекаются из ячеек один за другим слева направо. Тогда благоприятный исход наступает в том случае, когда в k-й ячейке лежит белый шар.

Всего возможно (a + b)! различных способов расположения шаров по ячейкам. Займём k-ю ячейку одним из белых шаров, что можно сделать a различными способами. Тогда остальные ячейки можно заполнить (a + b – 1)! способами, и получается, что число благоприятных исходов равно (a + b – 1)!a, а искомая вероятность – .

6. Найти вероятность того, что при размещении n различимых шаров по N ящикам заданный ящик будет содержать ровно k (0  k  n) шаров (все различимые размещения равновероятны).

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--