Реферат: Шпаргалка по высшей математике
1 (16). Скалярные и векторные величины. Основные определения.
В математике используется 2 вида величин: а) скалярные – величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений (длина, площадь, объём, масса и т.д.); б) векторные – величины, для полного определения которых помимо численного значения требуются ещё и направления в пространстве (изображаются при помощи векторов). Вектор – направленный отрезок на плоскости или в пространстве, имеющий определённую длину, у которого одна из точек принята за начало, а другая за конец. Координатами вектора `а являются координаты его конечной точки. Длиной вектора (нормой) или модулем называется число, равное длине отрезка, изображающего вектор [ ï a ï = Ö x 2 + y 2 (+ z 2 ) ] . Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается `0. ( направление `0 произвольно, не определено). Для каждого `а, отличного от 0, существует противоположный -`а, который имеет модуль, равный ïаï, коллиниарен с ним, но направлен в другую сторону. Два вектора `а и`в называются коллинеарными , если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Два вектора называются равными, если они: 1)имеют равные модули; 2)коллиниарны; 3)направлены в одну сторону.
2 (17). Линейные операции над векторами. Свойства линейных операций.
1)Сложение 2-х векторов : (правило треугольников ) суммой 2-х векторов `а и`в называют вектор `с =`а +`в, начало которого совпадает с началом `а, а конец- с концом `в при условии, что начало `в совпадает с концом`а. 2) Сложение нескольких векторов : (правило многоугольника ) сумма 4-х векторов `а,`в,`с,`d есть вектор`е =`а +`в +`с +`d, начало которого совпадает с началом `а, а конец- с концом`d. (правило параллелепипеда ) сумма 3-х векторов `а,`в,`с определяется как `d =`а +`в +`с. 3)Вычитание 2-х векторов : разностью 2-х векторов `а и `в называется сумма `а и -`в (противоположного). 4) Суммой 2-х векторов одинаковой размерности n называется вектор, каждая компонента которого равна сумме соответствующих компонент слагаемых вектора: `S = `x +`y, Si =xi + yi"i. 5) Произведением `x на действительное число а называется `в = а`x, каждая компонента которого равна а×`xi . Cвойства лин. операций над векторами: 1)коммутативное св-во суммы (переместительное); 2)ассоциативное св-во суммы (сочетательное); 3)ассоциативное относительно числового множителя: a ( b * ` c ) = ( a b ) ` c ; 4)дистрибьютивное (распределительное; 5)существование нулевого вектора, такого, что ` c + 0 = ` c " ` c ; 6)для любого `c существует такой противоположный -`c , что ` c + ( - ` c ) = 0 " ` c ; 7)для любого `c справедливо: ` c * 1 = ` c .
3 (18). Векторное пространство, его размерность. Понятие Базиса.
N -мерным вектором называется упорядоченная совокупность n-действительных чисел, записанных в виде `x =( x 1 , x 2 , x i , x n ) , где Xi-компонента `X. Два N-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты: `x =`y, если xi =yi "i. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее всем сво-вам суммы( коммутативное, ассоциативные), называется векторным пространством . Размерность векторного пространства равна количеству векторов в базисе этого пространства. Совокупность n-мерных векторов, рассматриваемая с определёнными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется n -мерным координатным пространством . Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом R n (R2 -плоскость,R3 -пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства. Теорема: для того, чтобы -- 1)2 вектора на плоскости (2)3-в пространстве) были линейно не зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были не 1) коллиниарны (2) компланарны). Векторы называются компланарными , если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости. Два вектора `а и`в называются коллинеарными , если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Теорема : если диагональная система является частью n-мерных векторов, то она же является базисом этой системы. Теорема : любой вектор системы векторов единственным образов разлагается по векторам её базиса.
4 (19). Базис на плоскости. Разложение вектора по базису R .
Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом R n (R2 -плоскость,R3 -пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства.
5 (20). Базис в пространстве. Разложение вектора по базису R .
Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом R n (R2 -плоскость,R3 -пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства.
6 (21). Линейные операции над векторами, заданные координатами.
7 (22). Проекция вектора а на вектор b . Направляющие косинусы вектора.
8 (23). Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.
Скалярным произведением 2-х векторов `а и`в называется число, равное произведению модулей, перемноженных на cos угла между ними: а * ` в = ï ` а ï * ï ` в ï * Cos j , где j-угол`а между`в. Скалярное произведение может быть найдено также по формуле: `а * ` в = ï ` а ï * пр. а ` в = ï ` в ï * пр. в ` а ® скалярное произведение 2-х векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию на него другого вектора. Свойства скалярного произведения : 1)Переместительное (`а*`в=`в *`а); 2)Сочетательное относительно числового множителя (l ( ` а * ` в)= l ` а * l ` в ); 3)Распорядительное ( ( ` а + ` в ) × ` с= ` а × ` с + ` в × ` с ); 4)Если скалярное пр-е равно 0, то либо равен 0 один из перемножаемых векторов, любо Cos угла между ними, т.е. векторы перпендикулярны . Скалярное произведение само на себя равно квадрату его модуля.
9 (24). Скалярное произведение ортов. Скалярное произведение векторов, заданных координатами.
10 (25). Определение угла между двумя векторами.
11 (26). Условия параллельности и перпендикулярности двух векторов.
12 (27). Векторное произведение.
Векторным произведением вектора `а на вектор `в называется вектор `с, который определяется следующим образом: 1) модуль `с численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах как на сторонах úсú=úаú×úвú×Sinj. 2) вектор с перпендикулярен обоим перемножаемым векторам; 3) направление вектора с таково, что если смотреть из его конца вдоль вектора а к вектору в, осуществляется против часовой стрелки. Геометрич. смысл векторного произведения –модуль векторн.пр-я равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах. Если векторы заданы в координатной форме, то их векторн. Произведение находится по формуле: `а × ` в = ú i j k ú
ú a x a y a z ú
ú b x b y b z ú .
13 (28). Свойства векторного произведения.
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак на противоположный, сохраняя при этом свой модуль: `а ×`в =(`в) ×`а. 2)Векторн.пр-е обладает сочетательным св-вом относительно числового (скалярного) множителя: l×(`а×`в)=(l`а)×`в=`а×(l×`в). 3)Векторн.пр-е обладает распределительным св-ом. 4) Если векторн.пр-е 2-х векторов равно 0-вектору, то либо равен 0 один из перемножаемых векторов, любо синус угла между ними, т.е. векторы коллиниарны (параллельны). ÞДля того, чтобы 2 ненулевых вектора были коллиниарны необходимо и достаточно, чтобы их векторное пр-е было равно нуль-вектору.
14 (29). Векторное произведение ортов.
15 (30). Векторное произведение векторов, заданных проекциями.
16 (31). Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения. Геометрический смысл смешанного произведения.
Рассмотрим произведение векторов а, в и с, составленное следующим образом: (`а *`в) – векторно, а затем полученной произведение умножают на `с скалярно. (`а *`в) ×`с. Такое произведение называется векторно-скалярным или смешанным . Оно представляет собой некоторое число. Скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними. Смешанное произведение равно определителю 3-го порядка, в строках которого стоят соответствующие проекции перемножаемых векторов.
Свойства: 1)если внутри смешанного произведения в векторном произведении поменять множители местами, то смешанное пр-е поменяет свой знак на противоположный, т.е. (`а *`в) ×`с = - (`в *`а) ×`с; (`а *`в) ×`с = `с × (`а *`в). 2)Для того, чтобы 3 вектора а, в и с были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось 0: (`а *`в) ×`с=0. Векторы, параллельные одной плоскости или лежащие в одной плоскости, называются компланарными . Геометрич. смысл смешанного произведения : состоит в том, что смешанное пр-е с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах как на рёбрах.
1 (32). Координаты на прямой. Деление отрезка в данном отношении.