Реферат: Шпаргалка по высшей математике

Деление отрезков в данном отношении : даны 2 точки М ₁ ( c ₁ g ₁ ) и М ₂ ( c ₂ g ₂ ) . Требуется найти внутри отрезка точку М с координатами ( c ; g ) , такую, что отрезок М1М2 поделится точкой М в соотношении М₁ М/М₂ М= l . Найти координаты М, удовлетворяющие данному равенству. Решение : М1М/М2М=АА1/АА2. АА1=X-X1, AA2=X2-X. M1M/M2M=(X-X1)/(X2-X) =l. X-X1=l(X2-X), X-X1=lX2-lX. X+lX=X1+lX2ÞX (1+l) =X1+lX2, X=X1+lX2/1+l.

2 (33). Общее уравнение прямой и его исследование.

Рассмотрим ур-е первой степени с двумя переменными в общем виде: Ax + By + C =0 , в котором коэффициенты А и В не равны одновременно нулю, т.е.А² +В² ¹0. 1) Пусть В¹0. Тогда ур-е А x + By + C =0 можно записать в виде y= -Ax/B – C/B. Обозначим k= -А/В, b= -C/B. Если А¹0, С¹0, то получим y=kx+b (ур-е прямой, проходящей ч/з начало координат); если А=0, С¹0, то y=b (ур-е прямой, параллельной оси Оy); если А=0, С=0, то y=0 (ур-е оси Оx). 2) Пусть В=0, А¹0. Тогда ур-е А x + By + C =0 примет вид x= - C/A. Если С¹0, то получим x=a (ур-е прямой, параллельной оси Оy); если С=0, то x=0 (ур-е оси Оy). Таким образом, при любых значениях коэффициентов А, В (не равных одновременно нулю) и С ур-е Ax + By + C =0 есть ур-е некоторой прямой линии на плоскости Оxy. Это ур-е называется общим ур-ем прямой . Ур-е прямой, заданное в общем виде, не даёт представления о расположении прямой на плоскости, но из него легко находятся все основные хар-ки прямой: 1)k= -A/B; 2)начальная ордината b= - C/B; 3) отрезки, отсекаемые прямой на осях ординат: Ax+By+C=0 /¸(-C)

-Ax/C-By/C=1

a= - C/A; b= - C/B.

3 (34). Уравнение прямой, проходящей через точку М ( x , y ) перпендикулярно нормальному вектору n ( A , B ).

4 (35). Уравнение прямой, проходящей через точку М ( x , y ) параллельно направляющему вектору q ( l , m ).

5 (36). Уравнение прямой, проходящей через две точки М ₁ ( x ₁ , y ₁ ) М ₂ ( x ₂ , y ₂ ).

Это ур-е является частным случаем ур-я пучка прямых. Прямая задана 2-мя лежащими на ней точками М₁ (x₁ ;y₁ ) и M₂ (x₂ ;y₂ ), x1¹x2, y1¹y2(при равенстве - применение ур-япрямой, проход.ч.з 2 точки, невозможно). Для составления ур-я прямой М1М2 необходимо ур-е пучка прямых, проходящих ч/з точку М1: y-y1=k(x-x1). Т.к. точка M₂ (x₂ ;y₂ ) лежит на данной прямой, то чтобы выделить её из пучка, подставим в ур-е пучка прямых координаты М2 и найдём угловой коэффициент: k=y₂ -y₁ /x₂ -x₁ .

Теперь ур-е прямой, проходящеё через 2 заданные точки, примет вид: y-y1=(x-x1) *y2-y1/x2-x1Þy-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1.

(др. способ: после ур-я углового коэф-та вывожу: tga=M2*N/M1*N, M2N=y2-y1; M1N=x2-x1Þtga=K=y2-y1/x2-x1. Подставим это ур-е в ур-е пучка прямых: y-y1=(x-x1)*y2-y1/

/x2-x1 |¸( y2-y1)Þ y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1. )

6 (37). Уравнение прямой в отрезках.

Прямая задана отрезками, которые она отсекает на осях координат. Найду ур-е прямой по заданным отрезкам а¹0 и b¹0, отсекаемым на осях координат. Используя ур-е прямой, проходящей через точки А(а;0) и В(0;b) - y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1—ур-е прямой в отрезках примет вид:y -0/ b -0= x - a /0- a или: -ay= b(x-a), -ay-bx+ab=0 |¸ab; -y/b-x/a+1=0 |¸(-1);

x / a + y / b =1. А-отрезок, отсекаемый на оси Оx; В-отрезок на оси Оy. Тогда прямую можно определить как прямую, заданную двумя точкамиÞA(a;b) на осиOx и B(0:b) на оси Oy. Подставив координаты этих точек в ур-е прямой, проходящей через две заданные точки, получим ур-е прямой в отрезках.

7 (38). Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Угловой коэффициент прямой- одна из характеристик расположения прямой на плоскости; её наклон относительно оси Оx (за угол наклона принимается Ða, отсчитываемый от оси Оx против движения часовой стрелки до этой прямой); tgугла наклона этой прямой к оси Оx. Если k>0, то a -острый; если a=0, то k=0, прямая параллельна оси Оx; если a=90°, то прямая параллельна оси Оy, k-не существует. Пусть положение прямой в прямоугольной системе координат задано величиной отрезка, отсекаемого этой прямой на оси Оyи k этой прямой. Возьмём произвольную точку М (c;g). Тогда tgугла a наклона прямой найдём из прямоугольного треугольника МВN: tga = MN/NB= y-b/x. Введём угловой коэффициент прямой k=tga; получим k=y-b/x. y = kx + b - ур-е прямой с угловым коэффициентом. В зависимости от величин kи b возможны следующие варианты расположения прямой: 1) при в>0, прямая пересекает ось Оx выше начала координат; при в<0, прямая Ç Оx ниже начала координат. 2)при k>0, прямая образует острый угол с Оx; при k<0,-тупой угол; при k=0-параллельна оси Оx; при k=µ-перпендикулярна Оx.

8 (39). Уравнение прямой, проходящей через данную точку М ( x , y ) с данным угловым коэффициентом k .

9 (40). Нормальное уравнение плоскости.

Нормальное ур-е плоскости : x ( Cos a ) + y ( Cos b )+ z ( Cos g )+ r =0 , где Cosa, Cosb, Cosg-направляющие Cos–сы нормального вектора; r-расстояние от начала координат до плоскости. Общее ур-е приводится к нормальному виду путём умножения на нормирующий множитель.

10 (41). Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

1)Если прямые параллельны, то они образуют с осью OX одинаковые углы. Поэтому угловые коэф-ты k1 и k2 этих прямых равны. Обратно, если k 1= k 2, то углы наклона прямых к оси OX одинаковы, откуда следует, что данные прямые параллельны. Условием параллельности 2-х прямых яв-ся равенство их угловых коэффициентов. 2)Формула tga=k2-k1/1+k1k2 определяет угол a между пересекающимися прямыми через tga. Если a=90, то эта формула оказывается неприменимой, т.к. tg=90 не существует. Если прямые взаимно перпендикулярны, то j2=j1+90, откуда tgj2= tg (j1+90)= -Сtgj1. tgj2= - 1/ tgj1. Заменяя tgj1 и Сtgj2 через k1 и k2, находим: k2= 1/ k1 или 1+ k1k2=0. Обратно, пусть k2= 1/ k1, это значит, что tgj2= -1/tgj1 откуда получаем j2=j1+90. Следовательно, угол между двумя данными прямыми равен 90, т.е. прямые взаимно перпендикулярны. Условие перпендикулярности 2-х прямых состоит в том, что угловые коэф-ты этих прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку: k 2= -1/ k 1.

11 (42). Угол между прямыми.

Угол a между 2-мя параллельными прямыми равен 0, тогда tga=0; с другой стороны, из условия параллельности, т.е. из равенства k1= k2, следует, что k1- k2=0 и по формуле tga=k2-k1/1+k1k2-угол между 2-мя пересекающимися прямыми-получаем: k1-k2/1+k1k2=0.

12 (43). Плоскость в пространстве. Виды уравнений плоскости.

Существуют следующие виды ур-ий плоскости: 1) Общее ур-е плоскости : Ax+By+Cz+D=0, где `n=(A,B,C)- нормальный вектор плоскости. 2) ур-е плоскости, проходящей через точку М1(x1;y1;z1) перпендикулярно вектору `n=(A,B,C): A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0. 3)Ур-е плоскости в отрезках : x/a+y/b+z/c=1, где a,b,c-величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат. 4)Нормальное ур-е плоскости : x ( Cos a ) + y ( Cos b )+ z ( Cos g )+ r =0 , где Cosa, Cosb, Cosg-направляющие Cos–сы нормального вектора; r-расстояние от начала координат до плоскости. Общее ур-е приводится к нормальному виду путём умножения на нормирующий множитель. 5)Ур-е плоскости, проходящей через три заданные точки : М1(x1;y1;z1), М2(x2;y2;z2), М3(x3;y3;z3).

|x-x1 y-y1 z-z1|

|x2-x1 y2-y1 z2-z1| =0.

|x3-x1 y3-y1 z3-z1|