Реферат: Шпаргалка по высшей математике

1. Определители. Основные определения. Вычисление определителей третьего порядка.

Определитель - число, характеризующее матрицу. Определителем матрицы 1-го порядка А=(а₁₁ ) является единственный элемент этой матрицы. Определителем 2-го порядка называется число, характеризующее матрицу 2-го порядка, которое находится по следующему правилу: из произведений элементов главной диагонали вычитается произведение элементов второй диагонали матрицы А. Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по правилу Сарруса. Правило Сарруса: определитель 3-го порядка (Ñ3) равен алгебраической сумме 6-ти тройных произведений элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах; со знаком «+» берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников, чьи основания параллельны главной диагонали, остальные слагаемые берутся со знаком «-».

2. Свойства определителей.

1) Если к.-л. строка или столбец в матрице состоит из одних нолей, то Ñ этой матрицы равен 0. 2)При транспонировании матрицы её определитель не изменяется: çА ç=÷ А’÷ . 3) Если все элементы к.-л. строки или столбца матрицы умножить на одно и то же число, то и Ñ этой матрицы умножится на это же число. 4) При перестановке местами 2-х строк или столбцов матрицы её определитель меняет свой знак на противоположный. 5) Если квадратная матрица содержит 2 одинаковых строки или столбца, то её определитель равен 0. 6)Если 2 строки или 2 столбца матрицы пропорциональны, то её Ñ равен 0. 7) Сумма произведений элементов к.-л. строки или столбца матрицы и другой строки или столбца равна 0. 8) Определитель матрицы не изменяется если к элементам одной строки или столбца прибавить элементы другой строки или столбца, умноженный на одно и то же число. 9)Если к.-л. столбец или строка матрицы представляет собой сумму 2-х элементов, то Ñ этой матрицы может быть представлен в виде суммы 2-х определителей.

3. Минор.

Минором М _ij квадратной матрицы n-го порядка для элемента а _ij называется определитель (n-1)-ого порядка, полученный с данного вычёркиванием i-ой строки и j-ого столбца.

4. Алгебраическое дополнение.

Алгебраическим дополнением А _ij для элемента квадратной матрицы а _ij называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)^{i + j} .

5. Вычисление определителей любого порядка. Понятие определителя n -ого порядка.

Определителем квадратной матрицы n -ого порядка называется число, равное алгебраической сумме n членов, каждый из которых является произведением n-элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки или столбца (причём знак каждого члена определяется как (-1)^{r ( j )} , где r(j)-число инверсий). Теорема Лапласа : определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов к.-л. строки или столбца на их алгебраические дополнения.

6. Матрицы. Основные определения.

Матрицей размера m xn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Вектор-строкой называют матрицу, состоящую из одной строки. Вектор-столбцом - из одного столбца. Матрица, у которой количество столбцов равно количеству строк, называется квадратной матрицей n -ого порядка . Элементы матрицы, у которых номер строки и номер столбца совпадает, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы . Если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, то матрицу называют диагональной . Если у диагональной матрицы n-ого порядка на главной диагонали все элементы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается Е . Матрица любого размера, все элементы которой равны 0, называется нуль-матрицей .

7. Операции над матрицами.

1)Умножение матрицы на число : условий нет, умножить на число можно любую матрицу. Произведением матрицы А на число l называется матрица В, равная lА, каждый элемент которой находится по формуле: b_ij =lxa_ij . Для того, чтобы умножить матрицу на число необходимо умножить на это число каждый элемент матрицы. 2)Сложение 2-х матриц : условие - складывать можно только матрицы одинакового размера. Суммой 2-х матриц А и В называется матрица С=А+В, каждый элемент которой находится по формуле С _ij =a _ij +b _ij . Для того, чтобы сложить 2 матрицы, необходимо складывать между собой элементы, стоящие на одинаковых местах. 3)Вычитание 2-х матриц : операция аналогична сложению. 4)Умножение 2-х матриц : умножение А на В возможно тогда и только тогда, когда число столбцов А равно числу строк В; произведением матрицы А размера m xk на матрицу В размера k xn называется матрица С размера m xn , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В. 5)Возведение в степень : возводить в степень можно только квадратные матрицы; целой положительной степенью квадратной матрицы А^m называется произведение m-матриц, равных А. 6)Транспонирование : условий нет; транспонирование -операция, в результате которой строчки и столбцы матрицы меняются местами с сохранением порядка элемента, при этом элементы главной диагонали остаются на своих местах.

8. Понятие обратной матрицы и алгоритм её вычисления.

Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении её на заданную как справа так и слева получатся единичная матрица. Теорема (необходимое и достаточн.условие сущ-я обратн.матрицы): обратная матрица А-1 сущ-т и единственна тогда и только тогда, когда заданная матрица не вырожденная. Матрица называется вырожденной , если её определитель равен 0, в противном случае она – не вырожденная. Алгоритм: 1)Определитель заданной матрицы. 2)Транспонирование. 3)Алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы. 4) Присоед.матрица А@ (на месте каждого эл-та А^т его алгебраич.доп-я). 5) А^-1 = 1/DА *A@. 6) Проверка=>А^-1 *А=Е.

9. Ранг матрицы. Элементарные преобразования.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы [rangA=r(A)]. Ранг матрицы не изменяется при проведении элементарных преобразований. Преобразования : 1)отбрасывание строки или столбца, состоящих из одних нулей; 2)умножение всех эл-ов к.-л. строки или столбца матрицы на одно и то же число, отличное от 0; 3)изменение порядка строк или столбцов матрицы; 4)прибавление к каждому эл-ту к.-л. строки или столбца эл-ов др. строки или столбца, умноженных на одно и то же число, не равное 0; 5) транспонирование матрицы.

10. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные определения. Матричная форма записи.

Линейным ур-ем относительно неизвестных x₁ ,x₂ ,…,x_n называется выражение видаa₁ x₁ +a₂ x₂ +…+a_n x_n =b, где a₁ ,a₂ ,…,a_n и b- простые числа, причём a₁ ,a₁ ,…,a_n называются коэффициентами при неизвестных, а b- свободным коэффициентом. Последовательность чисел k₁ ,k₂ ,…,k_n называется решением ур-я , если при подстановке этих чисел в ур-е оно обращается в верное равенство. Два линейных ур-я называются равносильными , если их решения совпадают. Чтобы получить равносильное ур-е из заданного, необходимо осуществить следующие преобразования: 1) перенос слагаемых из одной части ур-я в другую; 2) поэлементное умножение всего ур-я на одно и то же число, отличное от ноля. Решить линейное ур-е –это значит найти все его решения или установить, что их нет. Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Система ур-ий называется определённой, если она имеет одно единственное решение, и неопределённой , если решений множество. Неизвестное x ₁ называется разрешённым, если к.-н. ур-е системы содержит неизвестное x₁ с коэффициентом, равным 1, а во все др. ур-я системы неизвестное x₁ не входит. Если каждое ур-е системы содержит разрешённое неизвестное, то такую систему называют разрешённой . Неизвестные СЛУ, которые не входят в разрешённый набор, называются свободными . Разрешённая СЛУ всегда совместна, она будет определённой, если число ур-ий равно числу неизвестных; и неопределённой, если число неизвестных больше, чем ур-ий. Для того, чтобы определить совместна система или нет, не решая её, можно воспользоваться теоремой Кронекера-Капелли. Матрица, эл-тами которой являются коэффициенты при неизвестных системы, называется матрицей системы . Матрица системы, дополненная столбцом свободных коэффициентов, называется расширенной матрицей .

11. Правило Крамера.

Правило Крамера : пусть DА-определитель матрицы системы, а Dj-определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой j-ого столбца на столбец свободных коэффициентов; тогда, если DА¹0, то система имеет единственное решение, определяемое по формуле ¾Xj = D j / D A .

12. Теорема Кронекера-Капелли.

Теорема Кронекера-Капелли : СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Система ур-ий называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение.

13. Решение систем линейных алгебраических ур-ий методом Гаусса.

Метод Гаусса : каждую СЛУ при помощи конечного числа преобразований можно превратить в разрешённую системы ур-ий или в систему, содержащую противоречивое ур-е. Противоречивым называется ур-е вида OX₁ +OX₂ +...+OX_n =b. Если каждое ур-е системы содержит разрешённое неизвестное, то такую систему называют разрешённой. Неизвестное x ₁ называют разрешённым , если к.-н. ур-е системы содержит неизвестное x ₁ с коэффициентом, равным 1, а во все другие ур-я системы неизвестноеx ₁ не входит.

14. Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений.

Этим способом можно решить лишь те системы, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Алгоритм : 1)Записать матрицу системы (А); 2) Найти обратную матрицу для матрицы системы (А^-1 ); 3) Умножить А^-1 на матрицу свободных коэффициентов (В) ¾X = A ^-1 * B .

15. Однородная система линейных алгебраических уравнений.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--