Реферат: Симметрия молекул и кристаллов

4. i^-1 =-i (-i) - ¹ =-1 (-i) - ¹ =i.

Если группа содержит конечное число элементов, она называется конечной группой, а число элементов n называется порядком группы. Если имеет место коммутативный закон АВ=ВА группа называется абелевой, но вообще говоря АВ ¹ВА . Пусть элементы группы Е, А, B, C, D, F расположены по строкам и столбцам. Произведение АВ пусть стоит на пересечении строки А и столбца В , тогда можно составить таблица умножения элементов:

Таблица 1.Таблица умножения группы

E	A	B	C	D	F
E	E	A	B	C	D	F
A	A	B	E	D	F	C
B	B	E	A	F	C	D
C	C	F	D	E	B	A
D	D	C	F	A	E	B
F	F	D	C	B	A	E

Эти шесть элементов составляют группу. Каждое произведение содержится в группе. Каждый элемент имеет обратный. Группа не абелева, т.к, например, АС ¹СА .

Подгруппы

Рассмотрим последовательность X₁ , X₂ ... Выбранный элемент X и все его степени являются членами группы и группа конечна, поэтому последовательность должна повторить себя. Пусть X_n =Е , тогда X₁ , X₂ . X_n =Е называется периодом и обозначается {X} , а n - порядок элемента X . Период элемента А в указанной группе A¹ , A² =В , A³ =Е , т.е. n=3 . Период элемента В : В¹ , В² =А, В³ =Е ; n=3 . Период С : С¹ , С² =Е , т.е. n=2 . Период любого элемента образует группу, т.к все постулаты для такой совокупности элементов выполнены. Ее называют подгруппой группы G .

{А}={В}= E, A, B

{С}= Е, С{D}= Е, D

{F}= E, F

Можно показать, что порядок подгруппы есть делитель порядка группы. Пусть существует группа G , в которой есть подгруппа H . Пусть элемент g принадлежит G, но не принадлежит подгруппе H . Умножим все элементы h₁ , h₂ ,... из подгруппы H на элемент g . Элементы комплекса (смежного класса) принадлежат G , но не H , потому что в противном случае h_i ×g=h_k и g=h_k ×h_i ^-1 , что не так. Продолжая этот процесс получим, что все элементы группы G можно представить следующим образом (H - совокупность элементов подгруппы H ):

H, Hg₁ , Hg₂ ,... Hg

в каждом комплексе h элементов (h - порядок H ) поэтому g=hm , ибо элементы комплекса Hg₁ не принадлежат ни Hg_n ни Hg_m .

Сопряженные элементы

Если A, B и X - элементы группы и В=XAX^-1 , то A и В называют сопряженными элементами. Следующие законы относящиеся к сопряженным элементам являются почти очевидными и могут быть проверены с помощью таблицы умножения группы:

1. Каждый элемент сопряжен сам с собой;

2. Если A сопряжено с В , то В сопряжено с A ;

3. Если A сопряжено с В , и В сопряжено с С , то A и В сопряжены между собой. Элементы сопряженные друг с другом, образуют класс.Т.о. вся группа распадается на классы

Для группы E, A, B, C, D, F класс A есть A и В , т.к

ЕАЕ^-1 =А; ААА^-1 =A; ВАВ^-1 =А

САС^-1 =В; DAD^-1 =В; FAF^-1 =B

Подобным же образом можно показать, что класс элемента С (а также D и F ) есть C, D, F . Единичный элемент образует класс сам с собой. Поэтому в группе G содержится три класса E ; A,B; C,D,F . Число элементов в каждом классе является делителем порядка группы.

Все элементы класса имеют один и тот же порядок.

Действительно, если n порядок A то для B=CAC^-1 имеет место соотношение В ⁿ = ( CAC^-1 ) ⁿ = ( CAC^-1 ) × ( CAC^-1 ) … ( CAC^-1 ) = CAⁿ C^-1 = Е .

ИЗОМОРФИЗМ. Две группы G и G` одинакового порядка называются изоморфными если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие такое, что если AB=C , то A`B`=C` .

Общие свойства групп симметрии

Из самого определения операции симметрии видно, что они удовлетворяют постулатам, сформулированным для группы. Следовательно, полный набор операций симметрии некоторой фигуры образует группу. Любая операция группы преобразует систему элементов симметрии в самое себя, т.к фигура, к которой принадлежит эта система элементов, согласно определению операции симметрии, приводится к совпадению с собой. Элементы симметрии, которые таким образом могут быть преобразованы один движения. Другими словами все оси и плоскости симметрии молекулы должны пересекаться в одной точке. Перед тем как перейти к построению возможных типов точечных групп, рассмотрим простой геометрический способ, позволяющий легко произвести разделение элементов групп по классам. Пусть Oa некоторая ось и элемент A есть поворот вокруг этой оси на некоторый угол. Пусть далее G элемент из той же группы (поворот или отражение) который будучи применен к той же оси Оa переводит ее в положение Оb . Можно показать, что тогда элемент W=GAG^-1 отвечает повороту вокруг оси Оb на такой же угол, на который элемент А поворачивает пространство вокруг Оa . Действительно, рассмотрим воздействие GAG^-1 на ось Оb . Преобразование G^-1 переводит Оa в Оb ; преобразование A (поворот) оставляет ось на месте; последующая операция G переводит Oa в Ob . Поскольку результирующая операция GAG^-1 оставляет ось Оb на месте, то Оb есть ось вращения. Поскольку А и В сопряжены, они относятся к одному классу и имеют одинаковый порядок, т.е. производят поворот на один и тот же угол. Покажем математически, что Вⁿ =Е

В ^p = ( GA_n G^-1 ) ^p = GA_n G^-1 GA_n G^-1 ... GA_n G^-1 =GA_n A_n A_n . A_n G^-1 =GA_n ^p G^-1

Это выражение равно E при p=n и не является операцией идентичности при всех других значениях p . Таким образом, два поворота а одинаковый угол относятся к одному классу, если в числе элементов группы имеется преобразование, с помощью которого можно совместить одну ось поворота с другой. Точно также две операции в плоскости относятся к одному классу, если есть операция переводящая одну ось в другую. Если же оба поворота производятся вокруг одной и той же оси, то операции поворота будут относится к одному и тому же классу, если ось двусторонняя. Элемент, обратный С_n ^k (k=1,2,. n-1) вокруг оси порядка n , будет С_n ^-k =С_n ^n-k , т.е. представляет собой поворот на угол (n-k) 2 p/n в том же направлении или на угол k2 p/n в обратном направлении. Если в числе преобразовании группы имеется поворот на угол p вокруг оси, перпендикулярной данной С_n (меняет направление оси), то согласно доказанному общему правилу С_n ^k и С_n ^-k относятся к одному классу. Отражение в плоскости s_h тоже меняет направление оси, но меняет также и направление вращения. Таким образом наличие s_h не делает С_n ^k и С_n ^-k сопряженными. Отражение в s_v не меняет направление оси, но меняет направление вращения и поэтому C_n ^-k =s_v C_n ^k s_v /

Итак, различные типы элементов симметрии могут входить в различные классы. Число элементов в каждом классе определяется путем рассмотрения числа сопряженных элементов симметрии, соответствующих каждой операции. С этой геометрической интерпретацией легко определить и классифицировать все возможные точечные группы. Мы рассмотрим сначала проблему нахождения групп более высокой симметрии путем добавления некоторых элементов к группам более низкой симметрии. По аналогии с {A} , что обозначает период А , мы обозначим через {А, В} все величины типа А_m В_n , где порядок А и В не изменяется. Рассмотрим группу G с системой элементов G₁ , G₂ ... G_n-1 . Мы хотим добавить к ней систему элементов А¹ , А² ... A^m с операцией А , соответствующей одному из элементов. Каким условиям должны удовлетворять группа G и операция A , чтобы {G,A} тоже составляла группу? В любой группе система элементов симметрии преобразуется сама в себя при любой операции группы. Набор, состоящий из Е, G₁ , G₂ ,... G_n-1 и A¹ , А² ,. A^m , очевидно в том случае будет удовлетворять этому требованию, если любая степень А преобразует операции из G в самое себя, и любая операция из G приведем к совпадению А с собой. Если G состоит из Е, G₁ ,... G_n-1 , то это означает, что для любого G_k и любой степени А_m существует другая операция G_p , такая, что должны быть выполнены два условия:

1. A_m G_k А _-m =G_p или A_m G_k =G_p A_m

2. G_k A (G_k ) - ¹ =А _j

Можно проверить, что при этих условиях {G,A} - группа, т.е. все величины типа G_k A_m действительно представляют собой группу. Поскольку G - группа и A -операция симметрии, то мы должны показать только, что произведение двух операции например, G_p A_m и G_j А_r содержится в {G,A }. Действительно,